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Equation de Friedmann

Posté par
denje 11-03-08 à 22:51

Bonjour à tous,

j'ai un petit problème pour résoudre une équation différentielle:

H^2 = H^2_0 (\Omega a^{-3} + (1-\Omega)a^{-2})

où a est un parametre dépendant du temps et H = da/dt * 1/a

pour Omega > 1.

il faut passer par un changement de variable qui est:

a d\eta = dt

je trouve donc:

H_0 \eta = \int_0^a \frac{da}{( \Omega a + (1-\Omega) a^2)^{1/2}}

voilà, je suis bloqué là, apres je pensais décomposer en carré de facon a trouve un arcsin comme solution mais je n'arrive pas a le faire (3 ans que je n'ai plus toucher a une intégrale, que la honte s'abatte sur moi!)

D'avance merci,

denje

Posté par
donaldosre : Equation de Friedmann 11-03-08 à 23:46

Réarrange le dénominateur:

{\Huge \int}\limits_0^a \frac{{\rm d}a}{\sqrt{\frac{\Omega^2}{4(\Omega-1)}-\left(\sqrt{\Omega-1} a - \frac{\omega}{2\sqrt{\Omega -1}}\right)^2}

à partir de là, tu peux normalement effectuer un changement de variable pour te ramener à une forme plus proche de la dérivée de \arcsin.

Posté par
denjere : Equation de Friedmann 12-03-08 à 09:17

ca j'avais tenté de faire mais j'arrive a une équation intégrale du type
\int \frac{da}{\Sqrt{x^2-1}}
au lieu de
\int \frac{da}{\Sqrt{1-x^2}}

Posté par
denjere : Equation de Friedmann 12-03-08 à 09:23

il semblerait que j'ai inversé le membre de gauche et le membre de droite sous la racine ...

merci

Posté par
donaldosre : Equation de Friedmann 12-03-08 à 14:00

Je ne suis pas sûr d'avoir compris ton message...

Si tu écris ton intégrale sous la forme :

{\Huge \int}\limits_0^a \frac{\Omega}{2\sqrt{\Omega-1}}\frac{{\rm d}a}{\sqrt{1-\left(\frac{2(\Omega-1)}{\Omega} a - 1\right)^2}

et que tu poses u=\frac{2(\Omega-1)}{\Omega} a - 1 tu dois arriver à quelque chose qui ressemble à:

\frac{\Omega^2}{4(\Omega-1)^{3/2}}{\Huge \int}\limits \frac{{\rm d}u}{\sqrt{1-u^2}

non?

Posté par
denjere : Equation de Friedmann 12-03-08 à 16:44

en effet mais mon erreur réside dans le fait que omega > 1 et pas plus petit que 1 (chose a laquelle je n'avais pas fait attention lorsque j'ai décomposé en carré), j'avais donc un arccosh qui trainait au lieu d'un arcsin..

merci beaucoup

Posté par
donaldosre : Equation de Friedmann 12-03-08 à 16:48

de rien


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