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Equation de suites

Posté par
Utopique
02-01-19 à 13:34

Bonjour,

Dans un devoir Cned Capes SES que je sois rendre on considère l'évolution  d'un revenu correspondant à une suite

Un= 18000*1,02^n-1450*1,03^n
La question posée est: Ce revenu va-t-il décroitre un jour (soit n l'année 1)?
La question n'est pas expréssément posée de savoir quand mais j'imagine que je ne peux pas me contenter de dire que le coefficient 1,03 est plus grand...

Il me parait clair que ce revenu finira par décroître mais je n'arrive pas à résoudre l'équation qui me permette de savoir quand et de trouver n quand

18000(1,02^n+1-1,02^n)=1450(1,03^n+1-1,03^n)

J'ai essayé avec des ln et en posant l'égalité avec les dérivées de ces termes mais je n'arrive pas à trouver de solution plausible. Merci par avance, je ne trouve pas d'exercice similaire dans mes manuels.

*** Modération > forum modifié * merci de ne pas poster n'importe où ***

Posté par
Glapion Moderateur
re : Equation de suites 02-01-19 à 13:42

Oui étudie la fonction, et trouve son maximum en annulant la dérivée.
(maximum vers n ~ 217)

Posté par
Pirho
re : Equation de suites 02-01-19 à 13:55

Bonjour,

je pense :

1) qu'il faut montrer que 18000(1.02^{n+1}-1.02^n)~\textcolor{red}{<}~1450(1.03^{n+1}-1.03^n)

2) qu'il n'est pas nécessaire d'utiliser les dérivées, il suffit de factoriser ce qu'il y a dans les parenthèses

Posté par
Utopique
re : Equation de suites 02-01-19 à 14:34

Merci pour ces réponses mais cela ne m'avance pas beaucoup
@Pirho 1 je suis d'accord qu'il faut montrer que 18000(1.02^{n+1}-1.02^n)~\textcolor{red}{<}~1450(1.03^{n+1}-1.03^n)

Mais que reste-t-il à factoriser?

@Glapion, je n'arrive pas à calculer une dérivée avec laquelle je puisse travailler
Si je calcule la dérivée de Un=18000*1,02^n-1450*1,03^n
Je trouve (18360n)^n-1-(1493,5)^n-1 ce qui ne peut pas s'annuler

Posté par
Pirho
re : Equation de suites 02-01-19 à 14:40

1.02^{n+1}-1.02^n=1.02^n(1.02-1)=...

1.03^{n+1}-1.03^n=1.03^n(1.03-1)=...

à remplacer dans ton inéquation

Posté par
Glapion Moderateur
re : Equation de suites 02-01-19 à 14:46

la dérivée de an=e n ln a c'est ln a * e n ln a

la dérivée de 18000*1,02^n-1450*1,03^n est donc
18000*ln(1.02) *1.02^n-1450*ln(1.03)*1.03^n = 0
(1.03/1.02)^n = (18000*ln(1.02))/(1450*ln1.03)) =8.3165
n ln((1.03/1.02)) = ln (8.3165)
n = ln (8.3165) / ln((1.03/1.02)) =217.118

Posté par
carpediem
re : Equation de suites 21-02-24 à 18:00

salut

u_n = 18000 \times 1,02^n - 1450 \times 1,03^n = 1,03^n \left[ 18000 \left( \dfrac {1,02} {1,03} \right)^n- 1450 \right]

et un cours sur les (limites de) suites géométriques permet de conclure ...

et le même dit que ça décroit très certainement à partir du moment où le crochet est négatif ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equation de suites 22-02-24 à 12:15

Bonjour,
Sujet ancien
Quand je vois suite et décroître, je pense différence de deux termes consécutifs.
un+1 - un = 180001.02n0.02 - 14501.03n0.03
Du signe de \; dn \; avec \; dn = 3600(1.02/1.03)n - 435 .
La suite (dn) est décroissante et de limite -435.



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