On s'intéresse au système suivant
x' = y
y' = x - x^3
A. Quels sont les points d'équilibre pour ce système ?
B. Montrer que la quantité E = y^2(t) - x^2(t) + 1/2.x^4(t) est constante le long des orbites.
C. En déduire que toute solution (x(t); y(t)) du système est bornée et globale en t.
D. Montrer qu'au voisinage du point d'équilibre (1; 0), il existe des solutions périodiques,
correspondant a des énergies -1/2 < E < 0.
E. Donner une allure du portrait de phase du système.
oui bonjour dsl ^^
je cherche vraiment à résoudre ceci, c'est une annale des années précédentes dont je n'ai pas la correction et que je n'arrive pas à résoudre
merci
pour moi un point stable et un point où le vecteur dérivée s'annule = x'=y'=0
donc ici deux points : (0;0) et (1;0)
A)
x' = 0 --> y = 0
y' = 0 --> x = 0 ou 1
Les points stables sont (0 ; 0) et (1 ; 0)
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B)
x' = y
y' = x - x^3
x'' = y'
x'' = x - x³
Poser dx/dt = p
d²x/dt² = dp/dt = dp/dx. dx/dt = p dp/dx
p dp/dx = x - x³
p dp = (x - x³) dx
p²/2 = x²/2 - x^4/4 + C1 avec C1 une constante réelle.
p = +/- V(x² - x^4/2 + 2.C1)
dx/dt = +/- V(x² - x^4/2 + 2.C1)
x' = +/- V(x² - x^4/2 + 2.C1)
y = +/- V(x² - x^4/2 + 2.C1)
y² = x² - x^4/2 + 2.C1
y² - x² + (1/2).x^4 = 2C1
--> E = y² - x² + (1/2).x^4 est constante.
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Mais je ne sais pas si c'est la méthode attendue.
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