Bonjour tout le monde

je bloque sur un exercice qui part de la résolution d'une équation différentielle et qui bascule en algèbre linéaire.

l'équation différentielle est y''=5y'-(25/4)y

l'équation caractéristique montre une racine double : 5/2
la fonction phi(x)=(Ax+B)exp (5/2x) est solution de cette équation, A et B étant des réels.

l'énoncé pose la fonction f(x)=(Ax+B)exp(5x/2)

il m'est demandé de montrer que f est de classe infinie sur l'ensemble des réels, ce que j'arrive à faire par récurrence :
en effet, la dérivée (n) de f(x) est de type f(n)(x)=(A_n x + B_n)exp(5x/2) où A_n et B_n sont des suites :

A_n est géométrique de raison 5/2 et B_n+1=(5/2)B_n+A_n

Il m'est ensuite demandé de montrer que les suites vérifient les deux égalités
B_n+2 = 5B_n+1 -(25/4)B_n
A_n+2 = 5An+1 - (25/4) A_n
Pas de problème, cela se montre assez facilement

Puis arrive une question que je ne comprends pas du tout, puisqu'on passe maintenant dans les matrices :
On pose tout n entier naturel X_n=(B_n B_n+1), X_n est un vecteur.

On me demande de montrer que X_n+1=(B/4)X_n : mais c'est quoi cette matrice constante B ? je me doute que je dois utiliser les deux relations que vérifient A_n et B_n.

Pourriez-vous m'orienter ? Je n'arrive pas à faire les liens entre les suites composant la fonction solution de l'équa diff et cette curieuse relation.

Merci.