est ce que déjà je peux applique le formule Ke^ax-b/a pour ce cas là? je pense que non mais c'est la seule formule de solution proposé dans le livre.

Non tu ne peux pas écrire cela car cotan(x) dépend de x.

En fait tu peux dire que la fonction nulle est solution,

puis que pour tout y(x)0 on a : y'(x)/y(x)=cotan(x).

Ensuite il faut primitiver les deux côtés :

y'(x)/y(x) ---(une primitive)---> ln(y(x))
cotan(x)=cos(x)/sin(x) ---(une primitive)---> ln(sin(x)) car on a u'/u avec u=sin

Donc en "enlevant" les ln proprement on a :

y(x)=K.sin(x)

merci arilyn mais comment ça se fait qu'il y a un K qui apparait de nul part à la dernière ligne? et est ce que si on me demande à l'origine de montrer que si y(x) est solution de sin(x)y'(x)-cos(x)y(x)=0 est soltuion alors Ky(x) l'est aussi, j'ai répondu à la question la question?

(  sin(x)y'(x)-cos(x)y(x)=0 équivaut à y'(x)=cotan(x)y(x)  )

enfait je viens de comprendre comment il est apparu le K: c'est à cause des primitives c'est ça?

heu... non j'ai pas compris pour K je viens de refaire les calcul et moi je trouve y(x)=K+sin(x) mais y(x)=K.sin(x)

je voulais mais pas y(x)=K.sin(x)

La constante est bien due aux primitives en fait on a :

y'(x)/y(x)=cotan(x)

qui va donner :

ln(y(x))=C.ln(sin(x)) où C est une constante, afin d'avoir toutes les primitives possibles, comme tu avais voulu faire au début.

quand on enlève les ln (c'est à dire qu'on passe à l'exponentielle) on trouve :

y(x)=e^C.sin(x) et e^C est une constante quelconque, on peut donc écrire e^C=K.

D'où la solution : y(x)=K.sin(x)

d'accord merci pour ton aide.