Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

équation differentielle

Posté par
Moebius83 28-10-07 à 19:05

Bonsoir a tous!
voila je vous soumet mon DM sur les equa diff
un peu chaud je tourne en rond
on a (E): x(1-x)y'+y=x
bon de la j' en tire
(E'):y' + (1/ (x (1-x)) )y=1/(1-x)
(jusque la ,out va bien)
donc on peut associer a E' une équation homogene
(E'0):y' + (1/ (x (1-x)) )y=0
qui est de la forme
y'+a(x)y=0
avec a(x)=1/(x(1-x))

je pense que c' est pas mal de determiné
a sous la forme a(x)=c/x+d/(1-x)
on trouve a(x)=1/x+1/(1-x)
bon
ensuite on dit que a est Cinfini sur privé de 0 et 1
donc il admet une infinité de primitives sur privé de 0 et 1
soit A une de ces primitives...
par exemple A(x)=ln(x)-ln(1-x)
soit A(x)=ln(x/(1-x))
donc A est définit pour:
1)(x/(1-x))>0
2)(1-x)0

voila la je bloque
apparament je dois pouvoir définir l' ensemble des solutions sur
]-,0[
[0,1]
et ]1,+[
enfin je pense que c' est une histoire de constante qu' on change en fonction du domaine de définition...
il faut que je résolve E sur ces differents domaines...donc la j' ai une solution générale de l'équa homogene
et je vois pas sous quelle forme chercher une solution particuliere de l' équa générale!

si quelqu' un a une idée je vous remercie par avance!

Posté par
perroquetre : équation differentielle 28-10-07 à 19:20

Bonjour, Moebius83.

A(x)=\ln \frac{|x|}{|1-x|}

Les solutions de l'équation homogène sur l'un des intervalles que tu as cités sont donc:

y(x)=C \exp(-A(x)) = C_1\frac{x-1}{x}
(il vaut mieux enlever les valeurs absolues, en remplaçant au besoin C par -C, c'est pour cela que j'ai écrit C_1, avec C_1=C ou -C, selon les cas).

Il ne te reste plus qu'à déterminer une solution particulière (ce qui est encore assez long ...)

Posté par
Moebius83re : équation differentielle 28-10-07 à 20:55

merci beaucoup!
mais pourquoi (x-1)au numérateur?
inverser la fraction je comprend (pour le - devant le ln)c' est ce que j' ai fait
mais je ne vois pas pourquoi vous sembler avoir multiplié par (-1)?

Posté par
perroquetre : équation differentielle 28-10-07 à 22:13

Les solutions sont aussi:

y(x)=C\frac{x}{1-x}

Posté par
Moebius83re : équation differentielle 28-10-07 à 22:32

les deux se valent?
mais je vois pas comment vous trouver (x-1)au numérateur
(j' ai horreur de pas comprendre...)
et pour la solution particuliere j' avais pensé utiliser la varitation de la constante(j' ai entendu des collegues parler de DL mais je vois pas ce que ça viendrait faire dans le cas présent...)
merci pour l'aide!

Posté par
perroquetre : équation differentielle 28-10-07 à 22:47

Ecrire que les solutions sont

C\frac{x}{1-x}, C décrivant l'ensemble des réels

ou

-C\frac{x}{x-1}, C décrivant l'ensemble des réels

c'est la même chose. J'ai préféré écrire x-1 au numérateur pour des raisons qui n'ont aucun intérêt, j'aurais aussi bien pu écrire 1-x.


En ce qui concerne la recherche de la solution particulière, c'est bien la méthode de la variation de la constante qu'il faut employer.

Posté par
Moebius83re : équation differentielle 28-10-07 à 22:59

oui ok je vois que je n' étais pas loin de la solution homogene(rassuré...)
cependant pour la variation de la constante
je pensait chercher une solution sous la forme yo:=K(x)/(1-x)
mais ça me donne une dérivé premiere telle que:
yo': -(K'(x)+K(x)(1-x))/(1-x)2
maleureusement ça me donne pas de quoi faire une égalité avec l' équation de (E)
en tout cas merci !

Posté par
perroquetre : équation differentielle 28-10-07 à 23:54

Je m'aperçois que je traîne une erreur depuis mon post de 22h13. Les solutions de l'équation homogène sont, sur ]-\infty,0[ ou sur ]0,1[ ou sur ]1,+\infty[:

y(x)=C\frac{1-x}{x}

(1-x est bien au numérateur ...)

On cherche une solution sous la forme:
y(x)=K(x)\frac{1-x}{x}

On peut refaire les calculs, mais le cours permet d'affirmer directement que:
x(1-x))K'(x)\frac{1-x}{x}=x
et donc que:
K'(x)=\frac{x}{(1-x)^2}

Une primitive de \frac{x}{(1-x)^2}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(1-x)^2} est: \ln|x-1|+\frac{1}{1-x}

On en déduit les solutions de l'équation différentielle, sur l'un des trois intervalles cités précédemment:

\fbox{\left( \ln|x-1|+\frac{1}{1-x}\right) \frac{1-x}{x} +C\frac{1-x}{x}}

En espérant que, cette fois-ci, il n'y aura pas d'erreur

Posté par
Moebius83re : équation differentielle 30-10-07 à 15:12

merci
mais la encore un probleme :
comment préciser les intervalles?
qu' est ce qui a permis au prof de me demander d' identifier une solution sur les trois intervalles?
(je ne sais pas si mon probleme est comprehensible...?)
enfin voila ou je bloque
et quand vous dites que la primitive de 1/(1-x)2 est 1/(1-x) (si j' ai bien compris)
il ne manque pas un moins?la solution serait alors
(ln|x-1|-1/(1-x))(1-x/x)+C(1-x)/x ?(dernier resultat encadré)
merci d' avoir pris le temps de regarder le probleme!


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !