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equation differentielle
bonjour,
j'ai un exercice a faire ou il faut arriver à l'equation differentielle, l'énoncé c'est :
Un solide S de asse m est suspendu à un ressort.Le but est de decrirele mouvement de S lorqu'on tire d'une longueur y0 et qu'on lache au tps t=0.
1)On suppose les frottements negligés, les forces presentes sont la gravité et le force de rappel du ressort, proportionnelle a l'ecart de S par rapport à sa position d'equilibre. S se deplace sur un axe A, orienté vers le bas, ayant pour origine la position d'equilibre. Montrer que la position y de S sur A verifie une equation de la forme my"=ky avec k coeff de raideur du ressort.
2)On pose w²=k/m pour mettre l'equation sous la forme y"=w²y
a)Montrer sue sin(wt) et cos(wt)sont solutions de l'equation sur R.
b)Soit y une solution sur R. Montrer que la fonction f(t)=y(t)sin(wt)+y'(t)cos(wt) est constante sur R.
En fait, j'ai un probleme à la premiere question car je trouve my"=-ky, il y a donc un probleme de signe. et pour la question 2)b), j'ai calculé la dérivée f'(t) mais je ne trouve pas 0.
Merci d'avance pour votre aide
Bonjour,
La force de rappel s'oppose au mouvement quand le solide s'éloigne de sa position d'équilibre et va dans le même sens quand il s'en approche. On a donc bien my"=ky. Dans le cas contraire, on aurait une équation divergente: le solide s'éloignerait de plus en plus de sa position d'équilibre...
2.b) cos(wt) et sin(wt) sont solutions de l'équation. Sans dériver, il est facile de voir que f(t) est constante sur R.
Si cos(wt) et sin(wt) sont solutions, alors, la combinaison de solutions est elle-même solution: K.cos(wt) et K.sin(wt) sont solutions, quelque soit K, de même que K1.cos(wt)+K2.sin(wt). On peut en déduire que f(t) est constante...
Nota: d'une façon générale, la solution peut s'écrire de la forme y(t) = K.sin(wt+phi)...
Bonjour et merci de m'avoir repondu,
mais j'ai otujours un soucis, dans la question 2)a), on me demande de montrer que sin(wt) et cos(wt) sont solutions, j'ai donc remplacé sin(wt) et cos(wt) dans mon equation et j'ai trouvé qu'ils remplacaient l'equation. Par contre si je veut trouver les solutions de l'equation sans cette indication, je trouve que les solutions sont de la forme :y=u.exp(wt)+v.exp(-wt) comment retrouver sin(wt) et cos(wt)?
Merci d'avance
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