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equation differentielle

Posté par
cqfd67 10-01-05 à 16:31

Bonjour a tous

je dois resoudre l equa diff suivante et je n y arrive pas
Il donne en indication utiliser le changement de variable suivant t=x^2
x*y''-y'-x^3*y=0  (la variable est x)

merci d avance

Posté par
JJare : equation differentielle 10-01-05 à 22:19

On remarque que y(x) est une fonction paire. Il y a donc intérêt à faire le changement de variable :
x^2 = t
qui réduit l'équation à :
4y''-y = 0
(il s'agit maintenant de dérivées par rapport à t)
y(t) = a.exp(t/2) + b.exp(-t/2)
il ne reste plus qu'à remplacer t par x^2 pour trouver y(x).

Posté par
franzre : equation differentielle 10-01-05 à 22:25

En posant t=x^2 \Longleftrightarrow x = \sqrt t

Soit z la fonction définie par z(t)=y(\sqrt t)

y(x)=z(x^2)
Alors
y^'(x)=2x\,z^'(x^2)
y^{''}(x)=2\,z^'(x^2)\;+\; 4x^2\,z^{''}(x^2)

On a
\array{cc15l$ x\,y^{''}(x)\;-\;y^'(x)\;-\;x^3\,y(x) & = & x\,\( {2\,z^'(x^2)\;+\; 4x^2\,z^{''}(x^2) } \) \;-\; \( { 2x\,z^'(x^2) } \) \;-\; x^3\,z(x^2) \\ & = & 4x^3 \,\( z^{''}(x^2)-z(x^2) \) \\ & = & 0 }

Cela implique que z^{''}(t)-z(t) \) = 0
z(t)=A e^t + Be^{-t}

             \fbox{ \red \Large y(x)=A e^{x^2} + Be^{-x^2}}


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