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Équation différentielle 2nd ordre à coefficients non constants
Bonnjour,
En revisant mon cours sur les équations diff du 2nd ordre, je suis tombé sur une méthode pour trouver la solution d'une équation différentielle 2nd ordre à coefficients non constants. Ayant lu sur de très nombreux sites qu'une méthode universelle est impossible, j'aimerais bien savoir dans quels cas on peut l'appliquer.
Il s'agit d'introduire un difféomorphisme tel que la solution f de l'équation différentielle s'écrive
puis de remplacer. On obtient alors une équation différentielle en g et l'on choisit
de telle sorte que le coefficient devant g'' soit égal à 1, en remplaçant partotu dans l'équation
par l'expression que l'on connaît, l'équation se simplifie et l'on tombe sur une équation différentielle du 2nd ordre à coefficients constants cette fois-ci.
Exemple:
En posant y(x)= g(\phi(x)), on obtient:
On pose par exemple
donc .
On remplace dans l'équation et après simplification du tout:
On pose x=sin t donc d'où la solution.
Cette méthode marche-t-elle tout le temps ou peut-on se retrouver coincé avec des coefficients non constants qui se refusent de partir ?
Merci d'avance 
Bonjour.
A mon avis, c'est un cas particulier :
(1 - x²)y" - xy' + y = 0
(1 - x²)y" - 2xy' + xy' + y = 0
[(1 - x²)y']' + [xy]' = 0
Cela donne :
(x² - 1)y' - xy = Cte
BONJOUR,
Votre idée est excellente mais elle fonctionne dans ce cas particulier, elle ne se généralise absolument pas.
Pour répondre à votre question, il existe de très nombreuses équations du second degré à coefficient non constants qui ne peuvent être résolue à l'aide des équations du second degré à coefficients constants......., par exemple :
y''+e^{it) y=0, ici on utilise les séries de fourier pour obtenir une solution, dans d'autres équations ce sont les séries entières qui peuvent intervenir aussi pour obtenir une solution.
Merci beaucoup, c'est exactement ce que je souhaitais savoir: j'ai d'ailleurs trouvé un exemple où les coefficients en x ne s'éliminent pas juste à cause d'un signe (au lieu d'avoir quelque chose de la forme w-w devant l'expression de y', j'ai -w-w et j'ai longtemps cru qu'il s'agissait d'une erreur de signe avant de me rendre compte que la méthode ne marche pas) . Merci à vous.
On peut montrer qu'une équation différentielle linéaire à coefficients non constants :
a(x) y''(x) + b(x) y'(x) + c(x) y(x) = 0
grâce à un changement de fonction approprié f(x) --> g(x) (et qui dépend ces fonctionns données a(x), b(x) et c(x)) cette équation se ramène à la forme simple :
g''(x) / g(x) = F(x)
où F(x) est une fonction qui se calcule avec a(x), b(x) et c(x).
Ensuite, tout dépend de la forme de la fonction F(x)
Dans les rares cas où c'est une fonction assez simple ( par exemple sin(x) ), on sait résoudre l'équation et par conséquent remonter aux solutions de l'équation initiale.
Dans certains cas répertoriés, pour certaines formes de F(x), les solutions sont connues sous forme de fonctions spéciales.
Dans le cas général, pour des formes plus compliquées de F(x) les solutions analytiques ne sont pas connues et on doit se contentet de solutions approchées, soit analytiquement sous forme de séries, soit par calcul numérique.
Bonjour,
"opérateurs différentiels factorisables" !!
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Exemple:
D^2+(f(x)+g(x))D+(g'(x)+f(x)g(x))Id ,D pour d/dx ,Id o y = y(x)
=
(D+f(x)Id)*(D+g(x)Id).
Dans le cas présent:
(x^2-1)*D^2+x*D-Id
=
D *((x^2-1)D-x*Id)
Donc solution
(x^2-1)D-x*Id)*y(x)=c
Soit y(x)=c1*sqrt(x^2-1)+c2*x
Une idée?
Alain
Une idée pour quoi ? Quelle est ta question ?
Tu indiques des égalités formelles, mais pas d'équation :
D^2+(f(x)+g(x))D+(g'(x)+f(x)g(x))Id = (D+f(x)Id)°(D+g(x)Id)
est une égalité formelle, ce n'est pas une équation.
Le cas particulier d'égalité formelle :
(x²-1)(d²y/dx²)+x(dy/dx)-y = d((x²-1)(dy/dx)-xy)/dx
s'applique bien pour l'équation (x²-1)(d²y/dx²)+x(dy/dx)-y = 0
Mais cela n'apporte rien de plus que ce qui a été dit dans les messages précédents : c'est un cas élémentaire dont la résolution ne pose aucune difficulté, quelle que soit la méthode.
Et surtout cela n'apporte rien de plus que ce qui a été dit dans les messages précédents en ce qui concerne l'équation générale :
a(x)*(d²y/dx²)+b(x)*(dy/dx)+c(x)*y(x) =0
ceci même en posant
b(x)/a(x) = f(x)+g(x) et c(x)/a(x) = g'(x)+f(x)*g(x)
Par exemple, pour l'équation bien connue :
(d²y/dx²) +(1/x)(dy/dx) +y(x) = 0
comment fais-tu pour trouver f(x) et g(x) de façon à obtenir la forme :
D^2+(f(x)+g(x))D+(g'(x)+f(x)g(x))Id ?
Bien sûr, dans certains cas particuliers où cela se révèle possible, cela permet de présenter une méthode élégeante de résolution. Mais dans ces même cas particuliers, d'autres méthodes conduiraient au même résultat. Toutefois, ce ne sont que des cas particuliers.
Bonsoir,
Nombre de problèmes se ramènent à des cas particuliers.
La mise en facteurs ne me semble pas toujours facile à voir.
EX: D^2+x*D+x*Id = (D+Id)*(D+(x-1)*Id)
.........
Alain
Citation : "Nombre de problèmes se ramènent à des cas particuliers."
C'est très vrai en milieu scolaire et Alaipaul a bien raison de le rappeler.
Si, parmi l'infinité des cas d'équations différentielles, celles qui sont des cas particuliers n'étaient pas sélectionnées pour en faire des problèmes, de telle sorte que les étudiants soient capable de les résoudre, où irait-on ? 
Heureusement, que l'on trouve des "cas d'école" utiles pour chaque niveau de formation. Mais il ne faudrait pas que cela leur fasse croire que ce serait le cas en général.
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