Niveau BTS

equation differentielle

Posté par fonceur (invité) 13-03-05 à 18:32

bonsoir je galere sur les equa diff:

1)a) resoudre sur ]0,+oo[

(E): y'-2y/x=x

b)rechercher une solution particuliere de (E) sous la forme h(x)=k(x^2)ln(x) ou k es une constante a determiner

c)donner la solution general de l'equation (E)

d) determiner la solution de (E) dont la representation grafique passe par le point A(1,0)

merci davance

Posté par re : equation differentielle 13-03-05 à 20:41

Bonsoir

Premiére étape : Recherche des solutions de l'équation homogéne associée à (E) :

Nous voulons résoudre :
$y'-\frac{2y}{x}=0$

Avec quelques modifications , on obtient :
$\frac{y'}{y}=\frac{2}{x}$

En intégrant :
$ln|y(x,C)|=2ln(x)+C$
<=>
$|y(x,\lambda)|=2\lambda x$ ( $\lambda\in\mathb{R}+$ )
<=>
$y(x,\lambda)=2\lambda x$ ( $\lambda\in\mathbb{R}$ )

Deuxiéme étape : Recherche d'une solution particuliére de (E') :

On nous indique que cette solution particuliére est sous la forme $h(x)=kx^{2}ln(x)$

En dérivant :
$h'(x)=2kxln(x)+kx$

donc
$h'(x)-\frac{2h(x)}{x}=2kxln(x)+kx-2kxln(x)$
ie
$h'(x)-\frac{2h(x)}{x}=kx$

Pour que h soit solution de (E) , il faut donc que k=1 .
Une solution particuliére de (E) est donc $h(x)=x^{2}ln(x)$

Troisiéme étape : Expression générale de la solution de (E) :

On obtient alors :
$y_E(x,\lambda)=h(x)+y(x,\lambda)$
soit
$y_{E}(x,\lambda)=x^{2}ln(x)+2\lambda x$

Derniére étape : Solution générale particuliére

On cherche $\lambda$ tel que $y_{E}(1,\lambda)=0$
ie tel que :
$1ln(1)+2\lambda=0$
soit
$\lambda=0$

D'ou
$y_{E}(x,0)=x^{2}ln(x)$

jord

Posté par une tite erreur .... 14-03-05 à 09:22

salut
une vilaine petite erreur s'est glissée ds le raisonnement de nightmare
en effet pour la soluce de l'équation homogène qd on arrive à
ln y = 2 ln x +C cela donne
y= $\lambda$ x²
la vérif s'avère bonne alors que pour y=2 $\lambda$ x y'a un os
voilà
ça change aussi un peu les calculs de la fin
alors nightmare on est pas du soir .....
bye

Posté par re : equation differentielle 14-03-05 à 18:14

Oups autant pour moi .

faut dire que je suis tout nouveau en Analyse supérieur donc c'est déja bien que j'arrive à répondre ( malgrés l'étourderie )

Jord

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