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équation différentielle

Posté par RaFFoX (invité) 22-08-05 à 16:13

Bonjour,

Je fais un travail de recherche en physique, et je bute sur une équation différentielle qui a l'air à priori facile mais je n'arrive pas à m'en dépatouiller!

d²x/dt² = -a/x² où a est une constante, comment trouver x(t)???

Je vous remercie d'avance pour votre aide et pour que je puisse avancer dans mon travail.

Merci.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : équation différentielle 22-08-05 à 17:00

Pas si facile que cela.

Je donne une piste mais je n'ai pas le courage d'aller jusqu'au bout.

Poser dx/dt = p

d²x/dt² = dp/dt = dp/dx.dx/dt = p.dp/dx

L'équation de départ devient alors:

p.dp/dx = -a/x²

p dp = -a.dx/x²

On intègre et il vient:

p²/2 = -a/x + K (Avec K une constante)

p² = 2(Kx - a)/x

p = +/- racinecarrée[2(Kx - a)/x]

dx/dt = +/- racinecarrée[2(Kx - a)/x]

x' = \pm \sqrt{2}.\sqrt{\frac{Kx-a}{x}}

Celle là devrait pouvoir être résolue sans trop de difficulté mais c'est assez long.

On a : \sqrt{2}\ dt = \pm \sqrt{\frac{x}{Kx-a}}\ dx
...
-----
Il vaut mieux vérifier ce que j'ai écrit avant de continuer


Posté par RaFFoX (invité)re : équation différentielle 22-08-05 à 17:42

merci

juste je pense que c'est Kx+a et non Kx-a. Il me reste à continuer, je sais pas trop comment. Merci beaucoup

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : équation différentielle 22-08-05 à 18:17

Il suffit d'intégrer les cotés.

A gauche, c'est immédiat : V2.t + k'

A droite c'est plus long.

On peut par exemple essayer ceci:

Poser x/(kx+a) = u²

--> x = ku²x + au²
x(1-ku²) = au²
x = a.u²/(1-ku²)

dx = a.(2u-2ku³+2.k.u³)/(1-ku²)² du
dx = a.(2u)/(1-ku²)² du

et donc \int \sqrt{\frac{x}{kx+a}}\ dx = 2a.\int \frac{u^2}{1-ku^2} du

Qui est une intégration d'une fraction rationnelle, en principe sans difficulté ...
-----
Vérifie , je suis souvent distrait.




Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : équation différentielle 23-08-05 à 06:37

Bonsoir RaFFoX,Bonsoir J-P (Correcteur);
je suppose a\neq0
on peut supposer a>0 (en échangeant x et -x)
x''=-\frac{a}{x^2}\Longrightarrow x'x''=a\frac{-x'}{x^2}\Longrightarrow \frac{1}{2}x'^2=\frac{a}{x}+b\Longrightarrow x'=\pm\sqrt{\frac{A}{x}+B} (A=2a) qui s'écrit aussi:
3$\fbox{x'(t)g(x(t))=\pm1} où 3$\fbox{g:u\to\sqrt{\frac{u}{Bu+A}}}
c'est une dérivée d'une fonction composée dont une primitive est t\to G(x(t)) ( G étant une primitive de g )
comme G est strictement croissante (G'=g>0) elle réalise une bijection sur son domaine de définition et les solutions de notre équation s'écrivent:
3$\fbox{\red x(t)=G^{-1}(\pm t+c)} (c étant une constante réelle arbitraire)
1ér cas: \red B=0
g(u)=\sqrt{\frac{u}{A}} , 3$\blue G(u)=\frac{2}{3\sqrt{A}}u^{\frac{3}{2}} soit:
3$\blue\fbox{x(t)=(\frac{9a}{2})^{\frac{1}{3}}(t+c)^{\frac{2}{3}}} ou 3$\blue\fbox{x(t)=(\frac{9a}{2})^{\frac{1}{3}}(-t+c)^{\frac{2}{3}}}
2ème cas: \red B<0
G=\frac{1}{\sqrt{-B}}\int_{}^{}\sqrt{\frac{u}{\frac{A}{-B}-u}}du par le changement de variable u=-\frac{A}{B}sin^2(v) on arrive à:
G=\frac{A}{(-B)^{\frac{3}{2}}}\int2sin^2(v)dv=\frac{A}{(-B)^{\frac{3}{2}}}[v-\frac{1}{2}sin(2v)] soit:
3$\blue\fbox{G(u)=\frac{A}{(-B)^{\frac{3}{2}}}[arcsin(\sqrt{\frac{-Bu}{A}})-\sqrt{\frac{-Bu}{A}(1+\frac{Bu}{A})}]} 2$\blue\fbox{D_G=[0,-\frac{A}{B}]}
3ème cas: \red B>0
G=\frac{1}{\sqrt{B}}\int\sqrt{\frac{u}{\frac{A}{B}+u}}du par le changement de variable u=\frac{A}{B}sh^2(v) on arrive à:
G=\frac{A}{B^{\frac{3}{2}}}\int2sh^2(v)dv=\frac{A}{B^{\frac{3}{2}}}[\frac{1}{2}sh(2v)-v] soit:
3$\blue\fbox{G(u)=\frac{A}{B^{\frac{3}{2}}}[\sqrt{\frac{Bu}{A}(\frac{Bu}{A}-1)}-argsh(\sqrt{\frac{Bu}{A}})]} 2$\blue\fbox{D_G=[\frac{A}{B},+\infty[}
Bien entendu il faut inverser G sur son domaine de définition pour trouver x(t) (ce qui n'est pas évident)
Voilà,j'espére que je n'ai pas dis de bétises

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : équation différentielle 23-08-05 à 08:41

Attention, à la fin de ma réponse précédente, lire:

\int \sqrt{\frac{x}{kx+a}}\ dx = 2a.\int \frac{u^2}{(1-ku^2)^2} du

Qui est une intégration d'une fraction rationnelle, en principe sans difficulté ...

-----

Posté par RaFFoX (invité)re : équation différentielle 23-08-05 à 11:45

Merci elhor et J-P

elhor, non ça c'est sûr, pour inverser, ça n'est pas du gâteau, et aux vues de mes compétences je crois que ce n'est pas faisable pour moi.

Pareil, J-P, ça ne présente pas de difficulté, ça ne présente pas de difficultés ... pour moi si lol.

En fait, la solution de cette équation différentielle représente le mouvement relatif entre deux des corps dans un cas très particulier du problème à 3 corps en interaction newtonienne (les corps sont situés sur les sommets d'un triangle équilatéral et le moment cinétique est nul... c'est le seul cas où le problème est intégrable). Et en fait, ce que elhor appelle B représente l'hmiltonien du système, et je crois que je vais me restreindre au cas où l'énergie est nulle parce que sinon je ne vais pas m'en sortir.

Merci

Posté par RaFFoX (invité)re : équation différentielle 23-08-05 à 11:57

Parce qu'en fait, au lieu de l'équation de départ, j'ai vu que je pouvais mettre directement:

\frac{dx}{dt}=\sqrt{\frac{1}{B}\left(\frac{A}{x}+h\right)}

où A et B sont des constantes positives et h est l'hamiltonien de signe à priori quelconque selon le type de trajectoire que l'on veut obtenir.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : équation différentielle 23-08-05 à 12:33

Sans avoir vérifié s'il y avait des erreurs dans ma réponse précédente.

\frac{u^2}{(1-k.u^2)^2} = \frac{1}{4k}.[\frac{1}{(1-\sqrt{k}u)^2} + \frac{1}{(1+\sqrt{k}u)^2} -\frac{1}{1-\sqrt{k}u} -\frac{1}{1+\sqrt{k}u}]

Valable pour k positif

Pour k > 0:

\int \frac{u^2}{(1-k.u^2)^2} \ du= \frac{1}{4k}.\int [\frac{1}{(1-\sqrt{k}u)^2} + \frac{1}{(1+\sqrt{k}u)^2} -\frac{1}{1-\sqrt{k}u} -\frac{1}{1+\sqrt{k}u}] \ du

\int \frac{u^2}{(1-k.u^2)^2} \ du = -\frac{1}{4k}.ln|\frac{1+\sqrt{k}u}{1-\sqrt{k}u}| + \frac{1}{2k}.\frac{u}{1-ku^2}
-----
Le tout à vérifier ... avant de regrouper les morceaux

Posté par RaFFoX (invité)re : équation différentielle 23-08-05 à 13:49

Merci, c'était vieux dans ma mémoire tout ça, ça fait pas de mal de s'y remettre. Je fais tout ça, et je vous donne la réponse ce soir quand je m'y serai remi .

Merci!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : équation différentielle 24-08-05 à 01:03

Bonsoir RaFFoX,bonsoir J-P (Correcteur);
RaFFoX,ton problème est intéréssant pourrais tu en poster l'énoncé complet en précisant les conditions initiales? Merci d'avance.
elhor

Posté par RaFFoX (invité)re : équation différentielle 24-08-05 à 02:03

Bien sûr.

L'étude porte sur le mouvement de trois corps en interaction gravitationnelle, problème dont on sait qu'il n'est pas intégrable. Mon tuteur et moi avons donc écrit l'hamiltonien à 3 dimensions qui correspond à l'énergie du système qui est constante car le système est isolé du reste de l'Univers; pour ce faire nous avons fait les changements de variables usuels qui consistent à transformer le problème en un problème à 2 corps.
Nous avons ainsi obtenu les équations du mouvement (avec 11 variables positions/vitesses en tenant compte d'une variable cyclique).
Bref, il est démontré qu'il existe deux cas particuliers où il se passe des mouvements homographiques (c'est à dire que le triangle dont les 3 masses occupent le sommet peut tourner, se contracter, se dilater mais reste sans cesse proportionnel): ces deux cas sont:
1.: le triangle équilatéral
2.: les trois masses sont alignées avec un rapport précis (pour obtenir ce rapport, il faudrait résoudre un polynôme de degré 5 ce qui est infaisable par des méthodes classiques avec des radicaux, on peut avoir une solution approchée en faisant des hypothèses sur les masses, on peut aussi tout simplement trouver la racine du polynôme avec une méthode numérique (comme Newton)).

La configuration du triangle équilatéral est stable sous conditions d'un certain rapport entre les masses (que j'aimerais bien définir), et la configuration alignée est toujours instable, donc moins intéressante.

Il doit certainement exister des méthodes élégantes pour démontrer ces configurations centrales en 3D mais nous ne sommes pas des experts en maths et on se contente de les démontrer avec des calculs assez longs en 2D mais pas difficiles.

Si on se donne les bonnes vitesses et les bonnes positions au départ on a un mouvement sans rotation du triangle (moment cinétique nul) et là on peut intégrer le problème (équa diff du haut).

Le problème à 3 corps même plan est intéressant parce qu'on sait bien que par exemple le système solaire est plan. Et la configuration équilatérale (solution équilatérale de Lagrange) est très intéressante car si on perturbe suffisemment les conditions initiales on peut déboucher sur des régimes chaotiques et c'est très vaste à étudier.

Le problème étudié le plus répendu est le problème restreint où la masse du 3ème corps est dérisoire (par exemple pour un système planète (ou étoile)-planète-sonde) où la on néglige l'effet du 3ème corps sur le mouvement des 2 premiers, ce qui simplifie l'étude des équations (c'est très étudié car on peut ainsi arriver à passer le 3ème corps de l'orbite du 1er à celle du 2nd avec un minimum de carburant en ayant une trajectoire chaotique plutôt que d'aller tout droit avec un maximum de carburant).

Voilà, sinon j'ai calculé les intégrales selon la méthode de J-P, ça marche mais bon j'obtiens des log, des arctan et pour avoir x(t) à mon avis... je vais essayer de faire des DL en supposant l'hamiltonien du système très peu négatif pour voir ce que cela donne.

Donner d'entrée les conditions initiales serait assez difficile puisque dans l'équation différentielle que j'ai proposé, les constantes qui s'y logent sont des combinaisons de constantes assez farfelues dépendant des masses principalement, et le tout étant adimensionné. Il me serait très très long de marquer tout ça là. En revanche, je tape un rapport, je vais essayer de boucler la partie qui t'interesse pour la semaine prochaine si ça t'interesse. Les maths employées ne sont pas énormes, c'est plus calculatoire et long que difficile.

Ah oui j'oubliais, il existe une solution analytique du problème à 3 corps (même Poincaré peut se tromper). Cette solution est bien jolie mais elle est sous forme de séries en t/3 qui convergent très très très difficilement et en gros cette solution est inutilisable numériquement.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : équation différentielle 24-08-05 à 04:54

RaFFoX,bien sûr que ça m'intérésse je te remercie pour ces explications je vais prendre le temps de bien les lire n'hésites pas à me faire part de toute la partie mathématique de ta recherche (enfin de ce que tu jugeras utile de m'en faire part)
Encore merci. elhor

Posté par RaFFoX (invité)re : équation différentielle 25-08-05 à 03:13

Il y a un autre cas auquel je n'avais pas fait attention où le système est intégrable: lorsque l'on se choisit les positions et vitesses telles que le triangle équilatéral formé soit rigide, dans ce cas, on a tout simplement les 3 corps qui ont des mouvements circulaires autour du centre de masse. Et cas particulier évident : si les 3 masses sont égales, les 3 corps parcourent le même cercle.

Posté par jmix90 (invité)re : équation différentielle 25-08-05 à 11:34

Bonjour,

Me serait t'il possible a moi aussi d'avoir ce rapport, car je suis curieux!

Merci...

Posté par RaFFoX (invité)re : équation différentielle 25-08-05 à 11:54

et un rapport un! chaud le rapport chaud lol.
ça marche

Posté par jmix90 (invité)re : équation différentielle 25-08-05 à 13:44

Super cool merci !

Tu trouveras mon mail dans mon profil !


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