Bonjour, je voudrai résoudre l'équation différentielle (E) : sur
J'ai commencé par la résoudre sur chacun des intervalles
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puis j'aborde le problème de raccord :
en -1, par exemple, et tendent vers -1/2 lorsque x tend vers -1 si , et elles y sont dérivables , par contre, quand je vérifie dans (E), je vois que ne vérifie pas l'égalité en -1, dois je en conclure que cette solution n'est pas raccordable en -1, même si elle y est continue et dérivable ?
Pour moi, on a sur tous les intervalles indiqués : y(x) = (ln|x| + k).x²/(x²-1)
Et pour faire les raccords et -1 , 0 et 1, il suffit de prendre k = 1
On a :
y(x) = (ln|x| + 1).x²/(x²-1) pour R/{-1 ;0 ; 1}
y(-1) = 1/2
y(0) = 0
y(1) = 1/2
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Démo :
x(x²-1).y' + 2y = 2x²
Solutions de x(x²-1).y' + 2y = 0
Si y est diff de 0 et x diff de -1, 0 et 1
y'/y = -2/(x(x²-1)
y'/y = 2/x - 1/(x-1) - 1/(x+1)
ln|y| = ln|k.x²/(x²-1)|
y = k.x²/(x²-1)
Solution particulière de x(x²-1).y' + 2y = 2x²
y = f.x²/(x²+1)
y' = ...
x(x²-1).y' + 2y = ...
et en comparant à x(x²-1).y' + 2y = 2x², on trouve : f' = 1/x
--> f = ln|x|
Et y = ln|x| * x²/(x²-1) est une sol particulière de x(x²-1).y' + 2y = 2x²
Solutions de x(x²-1).y' + 2y = 2x² :
y(x) = (ln|x| + k) * x²/(x²-1) pour x diff de -1, 0 et 1
Il faut relier pour avoir y = 1/2 en x = +/- 1 rt y = 0 en x = 0 --> on a k = 1
Et finalement, on arrive à :
y(x) = (ln|x| + 1).x²/(x²-1) pour R/{-1 ;0 ; 1}
y(-1) = 1/2
y(0) = 0
y(1) = 1/2
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Sauf distraction.
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