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équation différentielle

Posté par
kirkins 28-12-11 à 21:19

Bonsoir, on me demande de résoudre:

xy' + (x-1)y = x

D'abord sur R+* puis sur R.

OR, sur R+* je trouve :

   R+* -> R*
S:  x  -> A*x*exp(-x) + x*exp(-x)*Ei(x)
J'ai trouvé sur internet que la primitive de F(x)= exp(x)/xest l'exponentielle intégrale.
De plus j'ai trouvé sur internet que le développement de l'exponentielle intégrale qui n'est pas définie ni dérivable en O.
Il en résulterait que cette équation n'ait pas de solution sur R.


CEPENDANT, je n'ai pas encore vu les développements limités et sans l'aide d'internet, j'aurais ignoré l'existence de l'exponentielle intégrale.


Puis-je la résoudre sans l'aide de cette notion ou me faudra-t-il l'introduire dans mon devoir?

Merci de votre compréhension et de votre aide.

Posté par
Supernickre : équation différentielle 28-12-11 à 21:26

ben en fait c'est pas exp(x)/x dont tu dois déterminer une primitive mais l'inverse!

refais les calculs

Posté par
kirkinsre : équation différentielle 28-12-11 à 21:32

excusez moi de vous demander ça mais pouvez vous me faire le calcul parce que nous sommes au moins 5 de ma classe à avoir trouvé exp(x)/x.
Et j'ai refait le calcul avant de poster ce topic.
J'en conclus que je me suis trompé et que je tromperai pour les autres équations donc si je pouvais avoir un exemple.

Merci de votre compréhension

Posté par
Supernickre : équation différentielle 28-12-11 à 21:40

Citation :
nous sommes au moins 5 à avoir trouvé exp(x)/x.



nous sommes au moins 6 maintenant.
désolé

Posté par
Supernickre : équation différentielle 28-12-11 à 21:42

\int^x_{1} exp(t)/t dt n'a pas de limite en 0 car exp(t)/t est équivalent à 1/t non intégrable!

Donc ton équation n'a pas de solutions sur R!

Posté par
kirkinsre : équation différentielle 28-12-11 à 21:43

Ah ça me rassure !
Mais alors savez vous s'il est nécessaire d'utiliser l'exponentielle intégrale?

Posté par
kirkinsre : équation différentielle 28-12-11 à 21:45

Enfin je veux dire: pour la solution sur R+*, est-il nécessaire d'utiliser l'exponentielle intégrale?

Et merci pour votre réponse, je n'avais pas vu.

Posté par
Narhmre : équation différentielle 29-12-11 à 00:08

Bonsoir à vous

Je me permets d'intervenir afin de soulever un point.
Effectivement, les solutions de cette e.d. sur \R_+^\star (respectivement \R_-^\star) sont données par la famille :
y_k(x)=(k+\int_1^x\frac{e^t}{t}dt)x\exp(-x).

( Pourquoi vouloir parler d'une fonction spéciale "exponentielle intégrale" et surtout l'introduire alors qu'on possède plus d'information avec la notation intégrale ?)

Ensuite, la première question à se poser est : peut-on prolonger par continuité les solutions en 0 ?
La réponse est oui, car l'intégrale se compense avec x\exp(-x).
Par contre, on voit clairement que qu'on ne pourra pas prolonger une telle solution de façon dérivable puisque
\lim_{x\to 0^+}\dfrac{y_k(x)}x=\lim_{x\to 0^+} \ (k+\int_1^x\frac{e^t}{t}dt)e^{-x}
mais comme il a déjà été dit, \lim_{x\to 0}\int_1^x\frac{e^t}{t}dt n'existe pas (une simple comparaison via \exp(t)\leq e pour 0\leq t\leq 1 suffit).


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