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equation differentielle

Posté par
robby3 24-09-05 à 16:20

bonjour je voudrais savoir comment on resout des equations differentielles du type de y'-2xy=shx-2xchx
et y'+ysinx=sin2x

je voudrais des explications parce que sur mon cours je comprend rien.
merci de votre aide

Posté par
Roulianere : equation differentielle 24-09-05 à 17:08

Bonjour,

y'-2xy=shx-2xchx  (E)
y'-2xy=0          (E0)

Pour trouver les solutions de ton équa diff., tu dois chercher la solution générale de l'equation sans second membre (E0), à laquelle tu ajoutes une solution particulière de ton equation (E)

La solution particulière se trouve "facilement" ici ( si tu regardes ton second membre, il ressemble etrangement au membre de gauche )

à toi de trouver une solution générale de E0

Posté par
piepalmre : equation differentielle 24-09-05 à 17:09

Si je me souviens bien, ces équations étant linéaires, la première étape consiste à résoudre une équation plus simple, sans second membre, et ayant sa solution du type y=kf(x) on cherchera , à moins d'avoir une solution évidente, une solution particulière de la forme y=f(x)g(x) puisque y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) et il ne restera plus que le terme en g' puisque le fzacteur du terme en g va s'annuler.
Mais par exemple pour la première y=chx est une solution évidente ; y'-2xy=0 a pour solution générale y=ke^(x^2), donc la solution générale est y=ke^(x^2)+chx

Posté par
robby3re 24-09-05 à 17:53

ok merci à tous les deux et surtout à toi nicoco, ta reponse me facilite vraiment la tache.Quant à toi piepalm,ton explication me permet de mieux comprendre mon cours.
Merci de votre aide

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : equation differentielle 24-09-05 à 18:57

Bonjour;
pour la seconde (E):\fbox{y'+ysin(x)=sin(2x)} tu vois que l'équation homogéne (sans second membre) est (E_0):\fbox{y'+ysinx=0}.
(*)les solutions y (non nulles) de (E_0) doivent vérifier sur tout intervalle où elles ne s'annulent pas que:
2$\fbox{\frac{y'}{y}=-sin(x)} et donc que
2$\fbox{ln(|y|)=cos(x)+cste} ces solutions sont donc toutes de la forme 3$\fbox{y=Ce^{cos(x)}\\C\in\mathbb{R}}
(*)pour résoudre (E) on peut utiliser la méthode dite de la variation de la constante dont le principe est assez simple: on fait varier la constante C de la solution de (E_0) en effectuant le changement d'inconnue 3$\fbox{y=ze^{cos(x)}} l'équation (E) devient alors:
3$\fbox{\underb{z'e^cos(x)-sin(x)ze^cos(x)}_{y'}+\underb{sin(x)ze^{cos(x)}}_{ysin(x)}=sin(2x)} ie
4$\fbox{z'=sin(2x)e^{-cos(x)}} qui s'intégre facilement par parties:
3$\fbox{z=\int z'=2\int \underb{cos(x)}_{u(x)}\underb{sin(x)e^{-cos(x)}}_{v'(x)}=2cos(x)e^{-cos(x)}+2\int sin(x)e^{-cos(x)}=2(1+cos(x))e^{-cos(x)}}
d'où:
5$\fbox{y=(2(1+cos(x))e^{-cos(x)}+A)e^{cos(x)}} ou encore:
5$\blue\fbox{y=Ae^{cos(x)}+2(1+cos(x))\\A\in\mathbb{R}}
Sauf erreur bien entendu

Posté par
robby3re 24-09-05 à 19:23

merci ENORMEMENT elhor_abdelali pour ta reponse magnifiquement illustré.


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