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équation différentielle
Bonjour tout le monde,
J'ai déjà posé une question sur cet exercice, mais je suis du coup perdu pour la suite.
On me demande de résoudre l'éq diff sur ]-1,1[
x'- (t^2+1)/ (t^2-1) x= e^t/ (t^2+1)
(t^2+1)/ (t^2-1) = 1 -1/(t+1) + 1/(t-1) =
t + ln ( |t-1|/(t+1) )
e^t/ (t^2+1) . 1/(e^t . |t-1|/(t+1) ) =
(t+1)/ [ (t^2+1).|t-1| ]
Je suis très gêné par la valeur absolue. Dans la logique de l'exercice et dans la correction que nous a donnée mon prof, il n'y a pas de valeur absolue sur |t-1|. On a une fraction rationnelle, et il n'y a pas de problème. Mais je ne vois pas comment on peut se passer de la valeur absolue.
Au secours
Oh ok...
Ce qui me gêne est que l'exercice nous fait décomposer (t^2+1)/(t^3 -t^2 +t -1). Or là on se retrouve avec (t^2+1)/-(t^3 -t^2 +t -1), une fois qu'on a mis 1-t à la place du |t-1|.
D'accord ça ne change pas grand-chose, mais on nous mache pas mal le boulot dans cet exo. Et vu que mon prof n'a pas pris en compte la valeur absolue... Le résultat qu'il donne pour l'éq diff est:
x(t)= (t-1)/(t+1)e^t (C + ln (|t-1|/sqr(t^2+1) )
Il me semble qu'à cause des valeur absolue, c'est faux...
Bon je vous soumets ce que moi j'ai fait, et qui semble faux.
x'- (t^2+1)/ (t^2-1) x= e^t/ (t^2+1) (*) sur ]-1,1[
On a:
(t^2+1)/ (t^2-1)= 1 - 1/(t+1) + 1/(t-1)
= t-ln(t+1)+ ln|t-1| = t + ln( (1-t)/(t+1) )
e^t/ (t^2+1) . e^(-t + ln( (1-t)/(t+1) ) )
=(t+1)/( (t^2+1)(1-t) )=1/(1-t) + t/(t^2 +1)
= -ln(1-t) + 1/2 ln(t^2+1) = ln( 
(t^2+1)/(1-t) )
Donc la solution générale de (*) est:
x(t)= (1-t).e^t/(t+1). (C + ln( (t^2+1)/(1-t) ))
Est-ce que quelqu'un aurait le courage de traiter cet exercice? J'aimerais éclaircir ce point avant mes partielles de lundi...
Je vous rappelle l'énoncé... Je cherche à résoudre cette éq diff, mais je suis très embêté par les valeurs absolues que je ne sais pas trop comment traiter. Si quelqu'un pouvait me le corriger au propre, ça m'aiderait beaucoup...
x'- (t^2+1)/ (t^2-1) x= e^t/ (t^2+1)
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