Bonjour

Qu'est-ce que A ? qu'est-ce que B ? Qu'est-ce que V ??

bonjour

sans second membre :
dv/dt = -Bv²

-dv/v²=Bdt

1/v = Bt+C

v = 1/(Bt+C)

vérifie et complète...

Philoux

Excusez moi alors A et B sont des constantes v est la vitesse

A mon avis c'est plus dur que ca philoux, on m'a parlé de Riccati mais je ne vois pas trop vu qu'il faut sans doute intégrer et je ne sais pas le faire d'ou mon souhait d'avoir une rédaction complète...

C'est pour le soumettre a mon professeur de physique qui demande desesperement chaque professeur de maths mais sans succès (peut-etre ne veulent-ils pas?), lui-même a essayer mais analytiquement il n'y arrive pas

Cette equation se vérifie grace a la methode d'euler... Mais la on cherche une valeure de v

(PS: Maple donne: , mais bon j'aimerai avoir la résolution en entier si quelqu'un y arrive)


++ EmGiPy ++

Solution:

Bonsoir,

Oui c'est une Ricatti. Il faut trouver une solution particuliere y0, et poser le changement de variable v = y + y0, pour se ramener a une Bernoulli:

ici, on peut essayer de trouver une fonction constante solution (pas tres brillant, je sais) particuliere.

C'est vite vu, il faut



On pose donc:


Et on reporte dans l'equation, avec y notre nouvelle fonction inconnue. Si je ne me trompe pas, on trouve:


qui est bien une Bernoulli, que l'on sait (en theorie) resoudre, en posant z = 1/y (dans ce cas):

en effet en divisant l'equation par y^2, et avec notre changement de fonction:

z' = -y'/y^2

D'ou:



C'est une equation lineaire en z!

On trouve z, on en deduit y et donc v.

mais j'ai comme l'impression que je ne vais pas retrouver ton expression...
Erreur de calcul de ma part? Ptet bien, ouais...

Il est tard, la methode est la en tout cas...

A+
biondo

J'oubliai de préciser que mon professeur a trouvé une solution particulière en z egalement dans un livre d'exercice corrigé de MPSI.

Et bon il est tetu et il aimerai bien trouver analytiquement la solution

Quand tu dit:

On trouve z,on en deduit y et donc v

C'est rapide car je suis en Terminale et je ne sais pas comment m'y prendre une aide?

Merci

++

Ah mince. T'en veux a mon sommeil toi...

C'est parti (rapide hein):



Donc equation lineaire comme on a dit:

Equation sans second membre d'abord:



en integrant (on reconnait la derivee de ln(z)):





Solution particuliere de l'equation: encore une constante, ca doit faire


Solution generale:




Ensuite, on avait pose z = 1/y donc y =1/z

ca nous fait y = .... (je fatigue un peu sur le latex qd mm)

et ensuite on avait dit que v = y + y0, avec y0 = racine de bidule,

Donc on a bien trouve v.


En y repensant, ton expression est bizarre, car si A = 0, on a une equation que Philoux a resolue... et on ne retrouve pas cela.
Je t'accorde que dans mon expression non plus, mais j'ai fait une division par A a un moment donne...
A reprendre dans le detail...


biondo

Et on peut oublier mes trois dernieres lignes, dans ton expression non plus A ne peut pas etre nul 9a cause du logarithme...)

Bof.

Au pire, en reinjectant l'expression qu'on trouve, on peut verifier....

Ouai donc en fait on trouve v en fonction de t?

y0 = racine du bidule ??

??

Merci pour le reste je vais essayer sinon je referai appel a toi si bien sur tu es d'accord.


++

Oui c'est cela.
Le y0 qu'on avait trouvé comme solution particulière de l'équation de Ricatti de départ. Quand je fatigue, je mets "bidule", sachant qu'il suffit de le recopier.

Bien entendu, si tu as encore besoin d'aide, tu repostes ici!

A+
biondo

A = (dv/dt) + Bv²
A-Bv² = dv/dt

dt = dv/(A-Bv²)

Si B est différent de 0 :

dt = (1/B) dv/((A/B)-v²)

Plusieurs cas à traiter.

1°)
Si A et B sont de même signe, posons A/B = a²

dt = (1/B) dv/(a²-v²)

1/(a²-v²) = 1/[(a-v)(a+v)] = M/(a-v) + P/(a+v)

1/(a²-v²) = [M(a+v)+P(a-v)]/(a²-v²)

1 = a(M+P) + v(M-P)

-->
a(M+P) = 1
M - P = 0

M = P = 1/(2a)

1/(a²-v²) =  (1/(2a)).[1/(a-v) + 1(a+v)]


dt = (1/B) dv/(a²-v²)

dt = (1/B)(1/(2a)).[1/(a-v) + 1(a+v)] dv

En intégrant les 2 membres -->

t + K = (1/(2aB)).ln|(a+v)/(a-v)|

Avec a = V(A/B)    (Avec V pour racine carrée).

t + K = (1/(2V(AB)).ln|(V(A/B)+v)/(V(A/B)-v)|

t + K = (1/(2V(AB)).ln|V(AB)(V(A/B)+v)/(V(AB).(V(A/B)-v))|

t + K = (1/(2V(AB)).ln|(A + V(AB).v)/(A - V(AB).v))|

2V(AB).(t + K) = ln|(A + V(AB).v)/(A - V(AB).v))|

(A + V(AB).v)/(A - V(AB).v)) = e^(2V(AB).(t + K))

(A + V(AB).v) = (A - V(AB).v)) * e^(2V(AB).(t + K))

A(1 - e^(2V(AB).(t + K))) = -v.V(AB) ( 1 + e^(2V(AB).(t + K)))

v = - V(A/B).[(1 - e^(2V(AB).(t + K)))]/[( 1 + e^(2V(AB).(t + K)))]

Soit en Latex:



Avec K une constante réelle.
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Pas le courage de recommencer si A et B sont de signes différents.
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Les erreurs de calculs sont bien entendu incluses dans ma réponse.  

Merci a vous deux!

Un grand merci même
Une petite question encore mais très petite vu que je n'ai pas fait les intégrations encore:

dt = (1/B)(1/(2a)).[1/(a-v) + 1(a+v)] dv

En intégrant les 2 membres -->

t + K = (1/(2aB)).ln|(a+v)/(a-v)|

En fait en intégrant dt on trouve t + K et en intégrant (1/B)(1/(2a)).[1/(a-v) + 1(a+v)] dv on trouve (1/(2aB)).ln|(a+v)/(a-v)|

???

C'est ma seule question!

++

Ta question:

"En intégrant dt on trouve t + K et en intégrant (1/B)(1/(2a)).[1/(a-v) + 1(a+v)] dv on trouve (1/(2aB)).ln|(a+v)/(a-v)| ? "
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OUI.

Merci pour ton investissement J-P !!!


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