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Equation différentielle

Posté par Nric (invité) 02-03-06 à 19:45

Bonjour,

je peine sur la résolution de cette équation:

y''+y'-2y+8x^2=0

Je commence donc par résoudre l'équation y''+y'-2y
Je trouve C_1e^{-2x}+C_2e^x


ensuite je pose:

y=ax^2  (inspiré de 8x^2)
y'=2ax
y''=2a

Je remplace dans l'équation de départ: 2a+2ax-ax^2=-8x^2

Mais ensuite je ne sais pas trop comment je dois continuer!

(A noter que la réponse finale est C_1e^{-2x}+C_2e^x+4x^2+4x+6 )


Je demande donc votre aide!

Merci!

Posté par jerome (invité)re : Equation différentielle 02-03-06 à 19:56

Salut,

y''+y'-2y=-8x² (E)

Si on note y l'ensemble des fonctions solutions, on a :

3$\rm y(x)=Ae^{-2x}+Be^x

On recherche une solution particulière g de la forme :
g(x)=ax²+bx+c (ne recherche pas simplement une solution de la forme x-->ax² )
Si g' est la dérivée de g
g'(x)=2ax+b
Si g'' est la dérivée seconde de g :
g''(x)=2a

On remplace dans (E)

2a+2ax+b-2ax²-2bx-2c=-8x²
-2ax²+(2a-2b)x+2a+b-2c=-8x²

Par identification :
-2a=-8
2a-2b=0
2a+b-2c=0

Ce qui donne :
a=4
b=4
c=6

g(x)=4x²+4x+6

Les fonction f solutions de (E) sont du type :
4$\rm\red\fbox{f(x)=Ae^{-2x}+Be^x+4x^2+4x+6}

A+

Posté par Nric (invité)re : Equation différentielle 02-03-06 à 20:10

Eh bien je te remercie infiniment jerome!

J'ai compris maintenant!

A++

Posté par jerome (invité)re : Equation différentielle 02-03-06 à 20:15

De rien

Bon courage pour la suite!

A bientôt

Posté par Nric (invité)re : Equation différentielle 02-03-06 à 22:21

C'est encore moi

J'ai un autre petit souci avec une équation de ce type!

Soit y''+2y'-3y=3e^{-2x}

comment dérminer la solution particulière et générale de cette équation sachant qu'en x=0, on a: y=0 et y'=0

J'ai résolu l'équation homogène et j'ai trouvé:

y(x)=Ae^x+Be^{-3x}

Mais après?? ...c'est le vide!!

Pour info, la solution particulière est: y=-e^{-2x}
La solution générale est: y=2e^{-3x}-e^x-e^{-2x}

Posté par
H_aldnoerre : Equation différentielle 02-03-06 à 22:28

Bonsoir,

reporte d'abord y(x)=Ae^x+Be^{-3x} dans y''+2y'-3y que trouve tu ?

Posté par Nric (invité)re : Equation différentielle 02-03-06 à 23:56

Heu tu veux que je calcule y' et y'' ?

y'=Ae^x-3Be^{-3x}

y''=Ae^x+9Be^{-3x}

Posté par
H_aldnoerre : Equation différentielle 03-03-06 à 00:14

maintenant calcule y''+2y'-3y

Posté par Nric (invité)re : Equation différentielle 03-03-06 à 12:29

Donc ça fait:

Ae^x+9Be^{-3x}+2.(Ae^x-3Be^{-3x})-3.(Ae^xBe^{-3x})
Donc d'après mes calculs tout ça s'annule!

Posté par
H_aldnoerre : Equation différentielle 03-03-06 à 22:14

Ok donc c'est bon tu as bien vérifié que c'était la solution de l'ESSMA.
Maintenant la solution générale :
\rm y=e^{\alpha x}
\rm y'=\alpha e^{\alpha x}
\rm y''=\alpha^2 e^{\alpha x}

soit
\rm \begin{tabular}y''+2y'-3y&=&\alpha^2 e^{\alpha x}+2\alpha e^{\alpha x}-3e^{\alpha x}\\&=&(\alpha^2+2\alpha-3)e^{\alpha x}\end{tabular}

il suffit de résoudre :
\rm \alpha^2+2\alpha-3=-3

\rm \alpha^2+2\alpha=0

\rm \alpha(\alpha+2)=0

\rm \alpha=0 ou \alpha+2=0

\rm \alpha=0 ou \alpha=-2

Donc en prenant \rm \alpha=-2 on a la solution particulière \rm y=e^{-2x}

sauf erreur de calcul, l'idée est là

Posté par Nric (invité)re : Equation différentielle 03-03-06 à 23:47

Merci bien H_aldnoer!

posté par : H_aldnoer (privilegié)
Ok donc c'est bon tu as bien vérifié que c'était la solution de l'ESSMA.

ESSMA? ça veut dire quoi exactement?


en fait, j'ai finalement réussi à résoudre l'équation en posant:

y=ae^{-2x}
y'=-2a^{-2x}
y''=4a^{-2x}

-> 4a^{-2x}-4a^{-2x}+3ae^{-2x}=3e^{-2x}
->a=-e^{-2x}


Merci
A+

Posté par
H_aldnoerre : Equation différentielle 04-03-06 à 00:30

ESSMA :

Equation homogène Sans Second Membre Assosicé : en clair lorsque tu as résolu y''+2y'-3y=0 (en zappant le second membre)

ensuite tu cherche une solution particulière

la somme de la solution particulière et de l'ESSMA est solution de l'equation différentielle


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