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équation différentielle
bonjour j'ai un pb avec la 2ème questiion de cet exercice, pourriez vous m'éclairez s'il vous plait
soit (E) l'équation différentielle xy''+y'+y=0
Trouver une solution de (E) développable en série entière de rayon R non nul et telle que f(0)=1
(-1)^n
j'ai trouvé f(x)=
-------- x^n définie sur 
(n!)²
ensuite ils demandent de montrer que f s'annule sur ]0;2[
et là je ne sais pas comment faire
merci d'avance de votre aide
Bonjour.
La série obtenue est alternée, or les séries alternées ont une propriété spéciale : les sommes partielles de rang impair sont croissantes et les sommes partielles de rang pair décoissantes.
En particulier ici, cela signifie que f(x) < f2(x), soit : f(x) < 1 - x + x²/4. Or, pour x = 2, cela donne f(2) < 0. Comme f(0) = 1 > 0 et que f est continue, le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure.
Cordialement RR.
merci pour votre réponse mais en fait je ne comprend pas pourquoi f(x)<f2(x)
merci
Regarde un cours sur les séries alternées et écris ce qui se passe : les termes de rang pair s'ajoutent les termes de rang impair se retranchent, donc, il y a alternance de croissance et de décroissance vers la limite f(x) : une fois par valeurs supérieures, une fois par valeurs inférieures.
Cordialement RR.
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