Bonjour,
Une solution de (E) admettant T comme période vérifie y(x+T)=y(x) donc y(x+T)-y(x)=0
Tu as déjà l'expression de y(x+T)-y(x), il te suffit de trouver pour combien de valeurs de lambda y(x+t)-y(x)=0.

Fractal

merci
c'est ce que j'ai commence a faire, mais comme je n'arrivait pas à déterminer la valeur de  l'integrale de f(t)e^(at) de -T a 0, j'ai essayé autre chose mais sans succès.
comment je pourrais déterminer l'intégrale de f(t)e^(-at) de -T a 0?? la je ne vois pas du tout..

f est une fonction donnée et a est un complexe donné, donc peu importe la valeur de l'intégrale.
Il faut que (si j'en crois ta formule : je n'ai pas vérifié ^^)
On trouve donc à condition que a soit non nul, ce qui est sûrement le cas.
On trouve donc une seule valeur de lambda possible, donc pour une fonction f et un complexe a non nuls donnés, il n'existe qu'une fonction de période T solution de (E).

c'est si simple que ca??
moi qui me prenait la tete a faire des calculs compliques..
merci beaucoup

ok, j'ai bien compris, cependant pour la suite, pour la cns, il faut alors juste remplacer a par 2i et T par 2? et donc ca donnerait =integrale de  -2 à 0 de f(t)e^(2i*2)/(1-e^(-2i*2))?
ca me parait un peu simple
par contre, pour la suite de l'exercice j'ai aussi du mal
alors on considere une nouvelle equa diff (E) y"+y=f(x) f fonction continue sur R 2 periodique à valeurs reelles.
tout d'abord il faut faire le changement de fonction inconnue y(x)=e^(ix)*z(x)
alors ca me donne e^(ix)* ( z(x) + i (z'(x)+z"(x)) )=f(x)
mais ca reste un peu compliqué, non?
ensuite j'y arrive toujours pas. il faut exprimer z'(x) a l'aide de F definie par pour tout x, F(x)= integrale de 0 a x de e^(-it)f(t)dt et il faut en deduire que F(2)=0 est une condition necessaire pour que (E) admette une solution 2 periodique. et il faur bien sur montrer que cette condition est suffisante (avec une integration par partie) et preciser alors la strucure algebrique des solutions  2 periodiques.
merci d'avance

Il n'y a donc personne pour m'aider??
je bloque sec la...

salut nazca,

Je trouve plutôt sauf erreurs bien sûr,


NEo

Je continue.
Exprimons z'(x) à l'aide de F définie par :

Je note A une primitive de     (il en existe car est continue sur[0,x])

Donc
Or, donc tu as :

D'où

Sauf erreurs
NEo

d'accord, merci bcp neo

de rien mais je ne sais pas si c'est ça qu'il fallait trouver !

NEo

j'ai donc refait et je trouve f(x)=e^(ix)*(2iz'(x)+z"(x))
par contre, je vois pas du tout comment arriver a la cn F(2)=0.
quelqu'un pourrait-il m'aider??