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Niveau école ingénieur
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Equation différentielle

Posté par
JPP2
28-09-23 à 21:45

Bonjour,
Pour une étude portant sur des fonctions, j'ai une équation différentielle à résoudre:
sur ] 0, pi/2[,
f"(t) + (2/sin(2t))f'(t) +f(t) = 0
J'ai essayé de nombreuses fonctions mais sans résultat, quelqu'un peut-il m'aider?
Merci de vos retours.

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle 28-09-23 à 23:12

salut

ben il suffit d'appliquer la recette classique, non ?
et que l'on trouve dans tous les cours ...

sinon peut-être je me débarrasserai du quotient pour écrire :

f''(t) \sin (2t) + f'(t) + f'(t) + f(t) \sin (2t) = 0

enfin faut voir pour un éventuel changement de fonction ...

Posté par
malou Webmaster
re : Equation différentielle 29-09-23 à 08:41

Bonjour à vous deux et
Bienvenue à JPP2

JPP2, le "défaut" de ton premier post est que tu dis avoir essayé beaucoup de choses mais tu ne dis pas quoi qu'on comprenne un peu ton cheminement et pourquoi tu as bloqué
Ne l'oublie pas la prochaine fois

Posté par
malou Webmaster
re : Equation différentielle 29-09-23 à 11:28

JPP2, tu as été invité à venir poster ici car l'autre forum devient ingérable avec les spams. Mais je vais te demander de choisir car il est malvenu de poursuivre la discussion en parallèle sur les deux sites.

Posté par
JPP2
re : Equation différentielle 30-09-23 à 12:46

Bonjour,
@malou Ok je continue seulement sur ce forum.
Les fonctions que j'ai essayées sans succès sont notamment:
(at+b)/sin2t, a cos2t + bsin2t, a et b étant des constantes,
et des changements de fonction du type f = u sint, u sin2t, u étant une fonction a déterminer,
et pour baisser le degré de l'équation de 2 à 1:
g = f' + (a/sin2t) f, f' + uf (notamment avec u = sin2t, cf. message de carpediem ci-dessus)
Cordialement,
JPP2

Malou edit OK vu

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle 30-09-23 à 13:06

ok mais si rien ne marche alors pourquoi ne pas sortir l'artillerie lourde et la mécanique classique de résolution de ce type d'équation ?

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle 30-09-23 à 13:21

bon je retire ce que j'ai dit : c'est pour des coefficients constants ...

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle 30-09-23 à 13:43

g(t) = f'(t) + f(t) \sin(2t)
 \\ 
 \\ g'(t) = f''(t) + f'(t) \sin (2t) + 2f(t) \cos (2t)
 \\ 
 \\ g'(t) sin (2t) = f''(t) \sin (2t) + f'(t) \sin^2 (2t) + 2f(t) \sin(2t) \cos (2t)
 \\ 
 \\ g't) \sin(2t) + g(t) = f''(t) \sin (2t) + 2 f'(t) + f(t) \sin (2t) + [\cos (2t)] [ f'(t) \cos(2t) + 2 f(t) \sin (2t)]

ouais ... pas facile !

g(t) = f(t) sin (2t)
 \\ 
 \\ g'(t) = f'(t) \sin (2t) + 2 f(t) \cos (2t)
 \\ 
 \\ g''(t) = f''(t) \sin (2t) + 4 f'(t) \cos (2t) - 4 f(t) \sin (2t)

pas mieux !!

Posté par
lake
re : Equation différentielle 04-10-23 à 17:03

Bonjour,
Juste un mot suite à ceci :
Je suis quasiment certain que cette équation différentielle n'a pas de solutions simples. On en est réduit aux hypothèses : une erreur d'énoncé ? Avec par exemple :

  y''+\dfrac{2}{\sin\,{\red t}}\,y'+y=0

Il s'agit d'exhiber une solution particulière :
soit y_1(x)=2+\cos\,t

Ensuite on peut se référer à ceci : en particulier le paragraphe relatif aux équations aux coefficients non constants et le wronskien.

On finit par tomber sur la solution générale sur \left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[ de la forme :

   y(t)=\lambda (2+\cos\,t)+\mu\,\dfrac{(1+\cos\,t)^2}{\sin\,t}

Posté par
JPP2
re : Equation différentielle 05-10-23 à 21:59

Bonsoir @lake,

Merci pour cet exemple, mais il n'y a pas d'erreur dans l'énoncé, le coefficient en facteur de f' est bien 2/sin2t = 1/(sint cost).

Cordialement

Posté par
malou Webmaster
re : Equation différentielle 05-10-23 à 22:13

Bonsoir
On te la donne cette équation ou c'est toi qui l'as trouvée au cours d'un pb ?

Posté par
lake
re : Equation différentielle 05-10-23 à 23:31

Bonsoir JPP2,

Citation :
il n'y a pas d'erreur dans l'énoncé, le coefficient en facteur de f' est bien 2/sin2t = 1/(sint cost).

Alors là, je m'avoue incompétent. Dans ce genre d'équation différentielle, une solution générale passe par la "découverte" d'une solution particulière et utiliser ensuite le wronskien.
J'ai été tout à fait incapable d'en trouver une.
Reste la question de malou :
Citation :
On te la donne cette équation ou c'est toi qui l'as trouvée au cours d'un pb ?

qui n'est pas sans intérêt ...

Posté par
lake
re : Equation différentielle 06-10-23 à 00:01

Pour enfoncer le clou, voici ce que donne Maple qui fait intervenir des fonctions spéciales :

L'espoir fait vivre mais tout de même ...

pdf
PDF - 95 Ko

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle 06-10-23 à 17:40

ok d'ac ... ben j'vam recouché !! d'autant plus quand j'y vois des racine carrée de nombre négatif ...

merci lake

Posté par
lake
re : Equation différentielle 06-10-23 à 22:13

Bonsoir carpediem,

Citation :
d'autant plus quand j'y vois des racine carrée de nombre négatif ...

A vrai dire je n'avais pas fait attention (dès que j'ai vu des fonctions de Legendre)
Tu as raison : c'est ... curieux.
Un nouveau pdf avec deux domaines : \left]0,\dfrac{\pi}{4}\right[
 \\ 
 \\  et \left]\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right[
 \\
Les choses ne s'améliorent pas vraiment ...

pdf
PDF - 185 Ko

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle 07-10-23 à 08:58

une question : pourquoi ces tildes après la variable t ? ou que signifient-ils ?

on remarque que dans les deux pdf il y apparait (a - 1)(a + 1) (ou son opposé) avec a = cos (2t) ou a = sin (2t) (et parfois sous les racines carrées)

donc les expressions se simplifient en - b2 avec b = sin (2t) ou b = cos (2t) (ou son opposé)

ce qui semble éventuellement permettre de pouvoir simplifier ces expressions

Posté par
lake
re : Equation différentielle 07-10-23 à 11:50

Lorsque la variable est contrainte de décrire un certain domaine avec la commande "assume"  (ici \left]0,\dfrac{\pi}{4}\right[
 \\ 
 \\  ou \left]\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right[
 \\ ), elle est suivie ensuite d'un tilde dans les calculs.

Oui, oui il y a des simplifications et dans les deux cas elles sont faites après la commande "simplify".

Mais il reste les deux fonctions spéciales "LegendreP" et "LegendreQ" qui ôtent tout espoir de trouver une solution simple.

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle 07-10-23 à 12:11

merci

ha oui d'accord

tout à fait !!



la seule chose qu'on peut faire "simplement" c'est justifier que cette équation admet des solutions sur certains intervalles !!

Posté par
JPP2
re : Equation différentielle 14-10-23 à 18:07

Bonjour,
Pour répondre à une question posée au cours des échanges, on ne m'a pas donné cette équation mais je suis tombé dessus en voulant résoudre un problème.
Bonne idée en effet d'essayer de trouver une solution particulière f1 puis d'en trouver une autre f2 en utilisant le wronskien.
La première étape semble la plus lourde, pour cela j'essaie avec un changement de fonction g = f' + uf
L'équation f" + (2/sin2t)f' + f = 0 peut se ramener à une équation du premier ordre en g: g' + (2/sin 2t - u)g = 0
à condition de trouver u vérifiant l'équation de Ricatti:
u' = u² - (2/sin2t)u +1
Voyez-vous une solution particulière de cette équation en u?
S'il n'y a pas la constante 1 on y arrive mais avec la constante c'est plus délicat...

Posté par
malou Webmaster
re : Equation différentielle 14-10-23 à 18:15

Citation :
Pour répondre à une question posée au cours des échanges, on ne m'a pas donné cette équation mais je suis tombé dessus en voulant résoudre un problème.


est-on sûr qu'il n'y a pas une erreur en amont ?

Posté par
JPP2
re : Equation différentielle 14-10-23 à 19:43

Il n'y a pas d'erreur, je l'ai vérifié.

Posté par
lake
re : Equation différentielle 14-10-23 à 22:03

Mon cher JPP2,
Il me semble clair qu'une solution générale de ton équation différentielle passe par la « découverte » d'une solution particulière.

Citation :
Voyez-vous une solution particulière de cette équation en u?

Comme déjà dit, j'ai été tout à fait incapable d'en trouver une.
D'autres peuvent s'y essayer mais, vu ce que me racontent certains logiciels de calcul formel, je pense que l'entreprise est sans espoir ...



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