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Niveau Maths sup
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Équation différentielle

Posté par
Dje69712
26-11-23 à 16:19

Bonjour, je galère à trouver une solution particulière de cette équa diff 1er ordre:          y' + cos(x) y = cos(x)/(1+e^(sinx)).                  Merci d'avance pour votre aide!

Posté par
carpediem
re : Équation différentielle 26-11-23 à 17:29

salut

vu la forme (compliquée) du second membre il y a une recette classique : la méthode de la variation de la constante ...

Posté par
Dje69712
re : Équation différentielle 26-11-23 à 18:59

Merci pour ta réponse, je vais essayer..

Posté par
Dje69712
re : Équation différentielle 26-11-23 à 19:02

Juste une précision : je cherche donc :                    y(x)= landa (x)* second membre ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Équation différentielle 26-11-23 à 19:09

Bonsoir Dje69712

juste une idée :

Tu peux aussi multiplier les deux membres de l'équation par e^{\sin x} puis intégrer les deux membres par rapport à x

Posté par
carpediem
re : Équation différentielle 26-11-23 à 20:46

elhor_abdelali : ha oui je l'ai pas vu celui-là

Dje69712 : non tu cherches une solution de la forme y(x) = k(x) h(x)

où h(x) est la solution générale (sans la constante (*) ) de l'équation sans second membre : y' + y cos x = 0

(*) : enfin k(x) est la constante

Posté par
Dje69712
re : Équation différentielle 26-11-23 à 21:16

Merci mais ça fait: 0=le second membre puisque : y(x)= exp (-sin (x))

Posté par
MattZolotarev
re : Équation différentielle 29-11-23 à 02:40

Je trouve qu'une méthode générale qui fonctionne bien est la suivante (qui, de fait, ressemble beaucoup à la méthode de la variation de la constante, mais que je trouve assez lourde et peu intuitive quand on est étudiant : "faire varier une constante... ?").

Considérons l'équation différentielle

y'+a\cdot y=b,
a et b sont continues.

Remarquons qu'à gauche on a "presque" un truc de la forme " u'v+uv' ". Considérant une primitive A de a, on fait apparaître cette forme :

\forall t\in I,\ y'(t)\cdot \exp (A(t))+a(t)\exp(A(t))\cdot y(t)=b(t)\cdot \exp(A(t)),
c'est-à-dire
\orall t\in I,\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left ( y(t)\cdot\exp(A(t))\right )=b(t)\cdot \exp (A(t))

Notant \beta=b\cdot \exp\circ A et B une primitive de \beta, il existe alors une constante réelle C telle que :

\forall t\in I,\ y(t)\cdot \exp(A(t))=B(t)+C

Il suffit alors de conclure...

Cela s'applique (là encore) parfaitement à cet exemple :
\forall t\in \mathbb{R},\ y'(t)+\cos(t)\cdot y(t)=\dfrac{\cos(t)}{1+\exp(\sin(t))},
donc en utilisant une primive de \cos que l'on connaît depuis (au moins) la terminale :
\forall t\in \mathbb{R},\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left ( y(t)\cdot \exp(\sin(t))\right )=\dfrac{\cos(t)\cdot \exp(\sin(t))}{1+\exp(\sin(t))}.

Dans ce cas on voit immédiatement que le membre de droite est de la forme \dfrac{u'}{u} (avec u strictement positive), donc une primitive du membre de droite est

t\longmapsto \ln\left ( 1+\exp(\sin(t))\right ).

Donc il existe C\in\mathbb{R} tel que :
\forall t\in \mathbb{R},\ y(t)\cdot\exp(\sin(t))=\ln\left ( 1+\exp(\sin(t))\right )+C

d'où,
\forall t\in \mathbb{R},\ y(t)=\left [ \ln\left ( 1+\exp(\sin(t))\right )+C\right ] \exp(-\sin(t))

Posté par
carpediem
re : Équation différentielle 29-11-23 à 11:17

ouais c'est simplement une autre façon de montrer la méthode de variation de la constante connaissant la dérivée de t \mapsto u(t) e^{v(t)} ...

Posté par
carpediem
re : Équation différentielle 29-11-23 à 11:18

mais tout le pb est de "bien le voir" dans les cas particuliers !!



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