bonjour à tout le monde c'est encore moi et mes equations differentielles,j'ais un probleme pour mon dm de maths je vous livre mon sujet et quelque unes de mes reponses:

& un réel et f une fonction conyinue de R ds R.On note(E&)l'equation differentiellle suivantr;y"+&y=f
on designe par;S l'ensemble des fonctions F de la variable x deus foi derivable de R ds R solutions de l'equation y"+&y=f.
S0 l'ensemble des fonctions F éléments de S telles que F(0)=F(pi)=0

1.On suppose ds cette question que &=0
f=0: determiner S0(pour ma part j'ais trouver  les fonctions du type y(x)=ax+b,a,b appartenant à R)
2.on suppose ds cette question que f est nulle sur R:w un réel positif(srttment),determiner S0 lorsque;
a)&=w²
b)&=-w²
3.ds cette question,&=0,n un entier naturel non nul,determiner l'ensemble S0 lorsque:
a)f(x)=cos (nx)
b)f(x)=sin(nx)
4.on suppose que &=0 et f un element quelconque de (R,R).
a)montrer que S={F:->((integrale de 0 à x)(integrale de 0 à u de f(t)dt)du+ax+b}ou a,b appartiennent à R.

b)En deduire que l'ensemble S0 admet un unique élément noté F1.DeterminerF1.

pour 2.a)je resous l'equation caracteristique y"+w²y=0
soit : x²+w²=0 on trouve alors,x1=-iw et x2=iw soit les solutions sont alors:y(x)=aexp(iw)+bexp(-iw) avec a,b apartenant à R.
de meme pour 2.b)on trouve y(x)=aexp(w)+bexp(-w) avec a;b appartenant à R.

pour 3.a) on a y"=cos(nx).
on resous alors y"=0 et on trouve y(x)=ax+b avec a,b appartenant à R,mais aprés je vois pas comment on fait pour trouver une sol particuliere(je pense que ds ce cas la ,la varaition de la constante est inutile).
j'ais penser à utiliser le fait que con(nx)=(exp(nix)+exp(-nix))/2 et resoudre par la suite separemment 2 equation differentielle pour pouvoir ensuite calculer la solution general.(je sais pas vraiment si c'est la bonne idée)

quant à la 4a)b) je n'est pas trouver.

MERCI d'avabce de vos reactions et de votre aide.