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Equation différentielle avec échelon unité

Posté par
zoozimaths
02-05-16 à 19:06

Bonjour,

Je bloque a cette exercice :

On se propose d'étudier un système d'entrée sortie.

Partie A

Le signal d'entrée est la fonction échelon unité U.Le signal de sortie est la fonction s, définie sur R, nulle sur ]-l'inf;0[, solution sur [0;+l'inf[ de l'équation différentielle:

{5(ds/dt)(t) + s(t) = U(t)  s(0) = 2

1)En résolvant l'équation différentielle,montrer que la fonction s est définie par: s(t) = (1 + e-0,2)U(t).
Je ne comprends de quelle forme est la solution particulière dans ce cas ci.

Merci a ceux qui m'aideront.

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:09

bonsoir,
Comment definis tu la fonction U ?

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:10

{U = 1 pour t>0   U=0 pour t<0 ?

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:13

C'etait une question ...... Je ne m'en souviens plus ..desolé

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:13

Pour 5s'(t)+s(t)=0 je trouve comme solution ke-0,2t

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:16

C'est bien ca pour l'échelon unité c'est écrit dans mon cours^^.

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:17

c'est juste

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:18

On prend s(t) sous quelle forme pour résoudre 5s'(t)+s(t)=U(t)?

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:18

essaie en posant k = k(t) ( variation de la constante )

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:21

Je ne comprends pas ce que voulez faire vous pouvez détailler?En faisant 5U'(t)+U(t)=U(t) ca peut marcher?

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:25

Je ne connais pas cette méthode je viens de regarder sur internet ce n'est pas écris dans mon cours.

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:27

Donc il faut résoudre k'(t)=(c(t)/a(t))e-0,2?Mais a quoi correspond c(t) ici?

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:28

tu remplaces dans l'equation initiale en considerant ta solution generale comme un produit de deux fonctions et non plus d'une fonction par un nombre

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:28

Ah c'est l'échelon unité U(t).

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:32

Je ne comprends pas ton a (t) et c(t)...

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:32

tu n'as qu'une inconnue k(t)  à trouver

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:33

C'est une autre méthode?

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:34

Non c'est rien j'ai trouvé ca sur internet en cherchant variation de la constante.

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:35

k(t) on trouve ca avec la condition initiale s(0)=2?

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:35

tu arrives à la solution ?

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:37

Non je ne sais pas quoi calculer.

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:38

qu'as  tu obtenu avec ma methode?

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:39

Je résoud s(0)=k(t)e-0,2t=2?

Posté par
lafol Moderateur
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:41

Bonjour
on ne te demande pas de résoudre l'équation, mais juste de vérifier que la fonction qu'on te donne est la solution cherchée ! Tu n'as qu'à sortir un théorème qui garantit l'unicité de la solution, et vérifier que si tu remplaces dans l'équation ça fonctionne !

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:42

Non :ça ce sera quand tu auras la solution particuliere , la solution generale etant la somme de la solution sans second membe et de cette solution particuliere ; tu auras la constante k à definir à partir de là.

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:43

Ou je résouds 5(k(t)e-0,2)'+k(t)e-0,2=U(t)?

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:44

c'est ça..je dois partir là :je me reconnecte apres diner si besoin..bon courage

Posté par
lafol Moderateur
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:44

tu as lu ma réponse ? tu te fatigues pour rien, un jour d'examen, c'est une perte de temps considérable pour une question qui ne rapportera presque rien puisqu'elle attend une réponse en deux lignes et deux minutes.

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:45

bon appétit et merci lafol je n'ai pas compris lol.

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:46

De quel théorème vous parlez?

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:47

bonjour lafol désolé

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:47

Pour t dans ]0 ; +oo[ :

5 ds/dt + s = 1

Solutions de 5 ds/dt + s = 0
s = C.e^(-t/5)

Solution particulière de 5 ds/dt + s = 1
s = 1

Solutions générales de 5 ds/dt + s = 1 :
s(t) = C.e^(-t/5) + 1
-----
Et si S(0) = 2 ---> 2 = C + 1
C = 1

s(t) = 1 + e^(-t/5)

s(t) = 1 + e^(-0,2.t)  (pour t > 0)
-----

Il n'empêche que s(0) = 2 est "suspect" comme donnée avec un signal échelon à l'entrée. (donc nul pour t < 0)

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 19:51

Bonjour jp d'accord mais il n'y a pas le U(t) dans votre solution.

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 20:01

U(t)=1 donc ca change rien ok.

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 20:03

Ce n'était que la première question je reviendrais si j'ai un problème apparemment y'avait plusieurs méthodes j'ai pas tout bien saisi mais c'est pas grave.
Merci encore.

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 21:12

Rebonsoir :
Je t'avais donné une methode générale mais effectivement ici, tu as un cas partiulier de deuxieme membre et JP t'a donné une solution particuliere evidente..

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 21:14

Rebonsoir,
j'arrive pas la partie B.
Le signal d'entrée est maintenant un “échelon unité échantillonné”. Il est modélisé par la suite
numérique (U(0,5k))k∈N
.
1. On se propose de caractériser le signal de sortie. La méthode consiste à remplacer dans
l'équation (E1) de la partie A, t par 0,5k et
ds
dt
(0,5k) par
s(0,5(k + 1)) − s(0,5k)
0,5
.
Montrer qu'on obtient alors:
(E2)

s(0,5(k + 1)) = 0,9s(0,5k) + 0,1 (k ∈ N)
s(0) = 2
2. On définit donc la suite numérique (ak)k∈N par:
(E3)

ak+1 = 0,9ak + 0,1 (k ∈ N)
a0 = 2
(a) Montrer que la suite (bk)k∈N définie par bk = ak − 1 est une suite géométrique de
raison 0,9 et de premier terme 1.
(b) En déduire l'expression de ak en fonction de k

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 21:18

exprime bk+1 en fonction de ak+1 et fais apparaitre 0,9bk

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 21:21

et (ds/dt)(0,5k) par S(0,5(k+1))-s(0,5k)/0,5*

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 21:27

Merci pour la 2ème question mais la première je trouve pas le bon résultat.

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 21:28

moi non plus!!!Je verifie!

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 21:36

quel resultat obtiens tu pour s(0,5 (k+1))?

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 21:40

Je trouve 0,1  + 0,8s(0,5k) c'est bizarre

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 21:43

bah oui : moi aussi....

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 21:44

Il y'a une erreur dans l'énoncé alors?

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 21:45

je ne sais pas  : tu es sûr du 5 au depart  ? Il n'est bien que devant la derivée?

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 21:45

d'ailleurs il sufit de verifier avec la solution...

Posté par
zoozimaths
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 21:49

Oui il y'a bien le 5.

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 21:49

je te conseille de passer directement au 2) .....

Posté par
philgr22
re : Equation différentielle avec échelon unité 02-05-16 à 21:50

je reflechis pour le 1

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