Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LicenceMaths 2e/3e a AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

Équation différentielle avec second membre

Posté par
oumarsadjo 08-10-22 à 00:48

Bonsoir à tout le monde.
Je veux résoudre cette équation différentielle mais je n'arrive pas à trouver une forme simple du second membre pour la solution particulière.

Merci pour votre aide s'il vous 🙏

y^''+2y^'-3y=1/(e^2x+1)

Posté par
oumarsadjore : Équation différentielle avec second membre 08-10-22 à 01:24

Merci de m'aider

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Équation différentielle avec second membre 08-10-22 à 04:25

Bonsoir oumarsadjo


une idée :


L'équation homogène se résoud à \Large\blue\boxed{y_H=Ae^x+Be^{-3x}}.


En posant \Large\boxed{u=y'+3y} et \Large\boxed{v=y'-y} on a \Large\boxed{u'-u=v'+3v=\frac{1}{e^{2x}+1}}


ce qui s'écrit aussi \Large\boxed{(u'-u)e^{-x}=\frac{e^{-x}}{e^{2x}+1}=e^{-x}-\frac{e^x}{e^{2x}+1}} et \Large\boxed{(v'+3v)e^{3x}=\frac{e^{3x}}{e^{2x}+1}=e^x-\frac{e^x}{e^{2x}+1}}


d'où \Large\boxed{ue^{-x}=-e^{-x}-\arctan(e^x)+A} et \Large\boxed{ve^{3x}=e^x-\arctan(e^x)+B}


et donc \Large\boxed{u=-1-e^x\arctan(e^x)+Ae^x} et \Large\boxed{v=e^{-2x}-e^{-3x}\arctan(e^x)+Be^{-3x}}


une solution particulière est donc \Large\blue\boxed{y_P=\frac{-1-e^{-2x}-\left(e^x-e^{-3x}\right)\arctan(e^x)}{4}} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
oumarsadjore : Équation différentielle avec second membre 08-10-22 à 12:01

Waouh
Merci beaucoup je cherche à bien comprendre les manipulations de la 2ème partie, c'est fort 🤩

C'est vraiment gentil. S'il y'a un cours que vous pouvez me suggérer pour comprendre la deuxième partie, je suis vraiment preneur.

Merci beaucoup 🙏

Posté par
oumarsadjore : Équation différentielle avec second membre 08-10-22 à 12:01

Waouh
Merci beaucoup je cherche à bien comprendre les manipulations de la 2ème partie, c'est fort 🤩

C'est vraiment gentil. S'il y'a un cours que vous pouvez me suggérer pour comprendre la deuxième partie, je suis vraiment preneur.

Merci beaucoup 🙏

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Équation différentielle avec second membre 08-10-22 à 12:36

Merci oumarsadjo


Citation :
S'il y'a un cours que vous pouvez me suggérer pour comprendre la deuxième partie, je suis vraiment preneur.


Oui il y a la méthode de la variation des constantes qui consiste à faire varier les constantes de la solution homogène


et chercher une solution particulière sous la forme \large\boxed{y_P=A(x)e^x+B(x)e^{-3x}}.

Posté par
oumarsadjore : Équation différentielle avec second membre 08-10-22 à 12:43

Oui, j'ai très compris. Je viens de voir un cours complet sur cette méthode.

Merci pour votre aide, c'est vraiment gentil 🙏🙏🙏

Posté par
carpediemre : Équation différentielle avec second membre 08-10-22 à 12:57

salut

elhor_abdelali : je ne comprends pas pourquoi à partir de u et v tu choisis ce y_p   (= u - v) (ce me semble-t-il ... avec A = B = 0 puisqu'on veut seulement une solution articulière)

Posté par
carpediemre : Équation différentielle avec second membre 08-10-22 à 12:58

et même ce facteur 1/4 ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Équation différentielle avec second membre 08-10-22 à 23:32

Citation :
Oui, j'ai très compris. Je viens de voir un cours complet sur cette méthode.

Merci pour votre aide, c'est vraiment gentil

C'est un plaisir oumarsadjo


Bonsoir carpediem


J'ai simplement calculé l'inconnue principale y en fonction des inconnues auxiliaires u et v

à partir de \Large\boxed{u=y'+3y~~;~~v=y'-y} ce qui donne bien \Large\boxed{y=\frac{u-v}{4}}

et comme (comme tu l'as remarqué) on ne cherche q'une solution particulière j'ai annulé le A et B sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
carpediemre : Équation différentielle avec second membre 09-10-22 à 08:39

ha damned !!

ok merci beaucoup


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !