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équation différentielle compliquée
Bonjour,
je ne comprend pas l'exercice suivant:
f"(x) + f(-x) = x + cos(x)
f=fp + fi où fp = partie paire de f et fi = partie impaire de f
a)Déterminer les équations différentielles vérifiées par fp et fi.
b)Résoudre les eq. diff. obtenues et déterminer f.
je pense que l'on peut écrire :
fp"(x) + fi"(x) + fp(-x) + fi(-x) = x + cos(x)
soit
fp"(x) + fi"(x) + fp(x) - fi(x) = x + cos(x)
Mais après je vois pas comment trouver les 2 equations!
Merci d'avance
Il ne te reste plus qu'à écrire:
fp"(x)+fp(x)-cos(x)=x-fi"(x)+fi(x)
et tu as là l'égalité de 2 fonctions de parités différentes elles sont donc toutes les deux nulles et tu obtiens:
a) fp"(x)+fp(x)=cos(x) et fi"(x)-fi(x)=x
b) On est donc amené à résoudre les 2 équations différentielles:
(E1) Y"+Y=cos(x) et (E2) Y"-Y=x
pour cela il suffit de remarquer que:
(E2)
(Y+x)"-(Y+x)=0 et que x
(1/2)x*sin(x) est une solution particuliére de (E1) on obtient alors:
fp(x)=a*cos(x)+(1/2)x*sin(x) et fi(x)=b*sh(x)-x où a et b sont des constantes réelles arbitraires.(sh désignant la fonction sinus hyperbolique) et que finalement les solutions de l'équation différentielle(compliquée) sont les fonctions :
f : xa*cos(x)+b*sh(x)+(1/2)x*sin(x)-x
(j'espére que je ne me suis pas trompé 
)
Merci beaucoup
Peut etre que maintenant je vais reussir a dormir...
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