salut

par récurrence ...

T" = -(2T' + (a - x)T)/x est dérivable comme quotient de fonctions dérivables ....

Salut,

Oui, c'est vrai je n'avais même pas pensé à ça. Par contre, pour faire ça, il faut d'abord prouver que T est une fonction localement intégrable. Dans mon cours j'ai des théorèmes de correspondance entre fonction L^1 ou L^2 et leurs transformées de Fourier, mais rien pour les fonctions seulement localement intégrables comme g. D'ailleurs, la fonction 1 est localement intégrable et même de classe C infini, mais sa transformée de Fourier inverse est la masse de Dirac, qui n'est pas une fonction...

en quoi intervient l'intégrabilité ?

tu veux simplement l'infini dérivabilité ....

Mais T est une distribution (tempérée) et non pas une fonction. Avant de montrer qu'elle est continue ou dérivable, il faut montrer que c'est une fonction. (T(x+h) - T(x))/h n'a pas de sens tant qu'on ne montre pas que T est une application sur R (alors que pour l'instant c'est une application sur l'espace de Schwartz)

Bonjour,

Peut-on tenter de simplifier l'équation différentielle en posant par exemple ,



Nous obtenons ,sauf erreur,:




Alain

Bonjour Alain,

Je n'ai pas fait le calcul en entier mais ça a l'air de donner ce que tu dis. Seulement je ne comprends pas pourquoi cela résout le problème. Peut-être qu'il y a là un théorème que j'ignore : Je ne connais qu'un théorème qui concerne les équations du premier ordre et qui dit que si la fonction coefficient est infiniment dérivable, alors les solutions sont les solutions usuelles au sens des fonctions. Mais je n'ai rien pour les équations d'ordre 2...


Léo

Bonjour,

Effectivement, si alors . Je vais appeler cette dernière fonction.

A noter déjà, pour se rassurer et faire proprement ce raisonnement par analyse-synthèse, que cette application est bien une distribution tempérée sinon pas la peine d'aller plus loin.

Ensuite, pour montrer que est , on peut le faire par récurrence.
Tu noteras par exemple que (formule classique de la transformée de Fourier), et comme , on peut appliquer Fourier inverse et en déduire que la distribution (et par conséquent la distribution ) est représentée par une fonction continue sur .

De la même façon, tu peux traiter le cas , ..., avec les justifications appropriées.

Ah mais oui... !
Merci beaucoup, je n'y aurais pas pensé ! Je vais retenir cette astuce
Léo

Bonsoir,

J'ai bien appliqué le raisonnement pour montrer que T était en fait un fonction continue, mais je ne vois pas comment on peut passer aux dérivées. En fait, on peut appliquer le même raisonnement aux dérivées de T au sens des distributions et montrer que chacune des dérivées successives est une fonction continue, mais cela ne prouve pas que T est dérivable en tant que fonction, si ? Sinon, à quoi sert la formule des sauts ?

La seule chose que j'aie trouvée, c'est d'écrire T sous la forme d'une intégrale (expliciter la transformée de Fourier, en somme). Cette intégrale ne peut pas subir le théorème de dérivation, mais après une IPP, on peut la dérivée, et je pense que ça donne le caractère C^1... Mais les calculs sont atroces, et il faut encore les recommencer une fois pour atteindre la classe C^2 et pouvoir faire comme carpediem disait au début...

N'y a-t-il rien de plus direct ?
Merci
Léo

Bon dimanche,



La forme que je proposais:

correspond à celle plus générale qui a été étudié par Whittaker
(Where the local field is the real numbers and the group is SL2(R))

Les fonctions de Whittaker s'appuient sur les fonctions hypergéométriques M et U,




Alain

Bonjour,

Nous n'avons pour l'instant pas étudié les équations de Whittaker, ni les fonctions hypergéométriques... Je regarderai ça dès que j'aurai le temps après mes examens.

Merci quand même
Léo

En fait, ton problème se ramène à montrer que si est un ouvert connexe de et sont deux fonctions continues telles que alors est continument dérivable et .

Soit , on pose . C'est une fonction continument dérivable sur , de dérivée .
G définit donc une distribution sur et on peut vérifier que pour toute fonction test .
Ainsi la distribution et donc la fonction est constante presque partout égale à . Comme les fonctions f et G sont continues, c'est une vraie égalité et ainsi .

est bien continument dérivable, de dérivée .

A ne pas confondre avec la formule des sauts traite la réciproque et est un peu plus forte, puisqu'on ne se limite pas aux fonctions continues mais continues par morceaux.