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équation différentielle du 1er ordre : variation de la constante

Posté par
tchouby75 06-11-07 à 21:13

voila je doit résoudre cette équation différentielle:

(1+x²)y'(x)+2xy(x) = 1/x (E) sur +*

j'ai trouvé la solution générale de l'équation homogène ==> y(x)=-(1+x²)

pour trouvé la solution particulière de (E) j'ai utilisé la méthode de la variation de la constante en posant y(x) = -(x)yo(x)  où yo(x) =(x²+1)
j'ai ensuite dérivé y(x) puis j'ai remplacé y et y' dans (E) afin de déterminer ' pour pouvoir ensuite déterminer puis y(x)
voici mon problème lorsque je remplace y' et y dans (E) ' s'exprime en fonction de ce qui ne m'amène nul part...

si quelqu'un pouvait m'aider...
merci d'avance

Posté par
gui_toure : équation différentielle du 1er ordre : variation de la cons 06-11-07 à 21:15

Salut

Si ça peut t'aider (Lien cassé)

C'est vachement bien fait, je félicite son auteur

Posté par
tchouby75re 06-11-07 à 22:05

effectivement c'est très bein fait j'ai tt de suite compri
merci ^^

Posté par
gui_toure : équation différentielle du 1er ordre : variation de la cons 06-11-07 à 22:05

De rien

Posté par
ottore : équation différentielle du 1er ordre : variation de la cons 07-11-07 à 01:36

Salut,
si tu as du lambda' et du lambda c'est que tu t'es planté quelque part, c'est pas plus compliqué.
Quand tu appliques la méthode de Lagrange, tes termes en lambda devraient tous partir.

Posté par
tchouby75petit problème avec le cours 07-11-07 à 20:57

une autre petite question : lorsque les solution d'une équation homogène sont complexes comment on écrit y(x)?
dans mon cours j'ai y(x)=acos(t)+bsin(t)exp(t)
comment on trouve et?

merci

Posté par
gui_toure : équation différentielle du 1er ordre : variation de la cons 07-11-07 à 21:04

Salut

Si l'équation caractéristique donne un Delta négatif

Soit \delta le complexe tel que 3$\delta^2=\Delta

Les 2 solutions complexes conjuguées sont alors 3$z_1=\fra{-b-\delta}{2a} et 3$z_1=\fra{-b+\delta}{2a}.

Alors en écrivant 3$z_1=\alpha+i\beta, les solutions de l'équa diff sont toutes de la forme

\HUGE \rm\fbox{\green\reverse y(t)=e^{\alpha t}\(A.\cos(\beta.t)+B.\sin(\beta.t)\)\\x\in I, \;A,B\in\mathbb{R}

Posté par
infophilere : équation différentielle du 1er ordre : variation de la cons 07-11-07 à 21:06

Citation :
C'est vachement bien fait, je félicite son auteur


Posté par
gui_toure : équation différentielle du 1er ordre : variation de la cons 07-11-07 à 21:08



C'est compréhensible, non ?

Posté par
infophilere : équation différentielle du 1er ordre : variation de la cons 07-11-07 à 21:08

Toutafé

Posté par
gui_toure : équation différentielle du 1er ordre : variation de la cons 07-11-07 à 21:10

Arf, dans mon zoli encadré rose, je paramètre x dans I, mais c'est bien sûr t dans I

Posté par
tchouby75re : équation différentielle du 1er ordre : variation de la cons 07-11-07 à 21:15

merci!
c'est plus claire comme ca

Posté par
casiopéeéquation différentielle du 1er ordre : variation de la constante 07-11-07 à 22:06

La solution générale de l'équation homogène (du début du topic) ne serait-elle pas fausse ?
Je trouve y(x)=-k/(1+x²)

Posté par
infophilere : équation différentielle du 1er ordre : variation de la cons 07-11-07 à 22:12

Oui on peut même se passer du signe moins.

Posté par
tchouby75équation différentielle du 1er ordre : variation de la constante 11-11-07 à 23:18

pour l'équation:

(1+x²)y'(x)+2xy(x) = 1/x (E) sur +*

je trouve que y(x)=clnx+exp-(1+x²)

ca serait gentil si quelqu'un pouvait me dire si je me suis trompé ou non pour que je puisse continer l'exo ^^
merci

Posté par
gui_toure : équation différentielle du 1er ordre : variation de la cons 15-04-08 à 10:53

C'est un peu tard, ok ^^

Soit (E) l'équa diff 3$\fbox{(1+x^2)y'(x)\,+\,2.x.y(x)\,=\,\fr1x.

En posant 3$\fbox{\varphi(x)=1+x^2 d'où 3$\fbox{\varphi'(x)=2x il vient :

(E) : 3$\fbox{\varphi(x)y'(x)\,+\,\varphi'(x).y(x)\,=\,\fr1x

soit 3$\fbox{\[\varphi(x)y(x)\]'\,=\,\fr1x

Par intégration sur 3$\mathbb{R}^*_+, on a 3$\fbox{\varphi(x)y(x)\,=\,\ell n(x)+K donc 3$\fbox{\|x\in\mathbb{R}^*_+\\y(x)\,=\,\fr{\ell n(x)+K}{1+x^2 K une constante réelle.


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