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Niveau maths sup
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équation différentielle du 3eme ordre

Posté par gérard lambert (invité) 28-10-03 à 13:28


je dois déterminer les solutions réelles de l'équation différentielle
E:  y'''+y''+y'+y=0

j'arrive a trouver des solution évidentes comme y(x)=Ae^(-x) avec A E [R et
pense k'il fo utiliser la méthode de l'analyse synthèse
mais a part ca je ne vois vraiment pas comment faire. Peut ètre poser
U=y'??

Posté par Domi (invité)re : équation différentielle du 3eme ordre 28-10-03 à 14:47

Bonjour,

Tu peux te ramener à une équation du 2ième ordre.

Pose par exemple u   =   y    +  y'
                               u'  =   y'  +  y"
                               u" =   y" +  y"'

=>  u + u" = y + y' + y" + y"' = 0


Une fois résolue cette équation, tu auras à résoudre  une équation du
1ier ordre  y' + y = u

A+

Posté par (invité)re : équation différentielle du 3eme ordre 28-10-03 à 15:18

merci  beaucoup du tuyau, j'avais essayé de poser un truc du
genre U= ,mé j'avais pas vu le bon.
sinon pour ma culture gé, est ce k'il est possible de résoudre dans
le cas général des équa diff du 3eme ordre autrement qu'avec
des transformé de laplace ; ie une méthode algébrique cô pour le
1er et le 2nd ordre

Posté par Domi (invité)re : équation différentielle du 3eme ordre 28-10-03 à 15:46

Re-bonjour,

Désolé, je ne sais pas te répondre: cela fait beaucoup trop longtemps que
je n'ai pas "joué" avec des equations diff. Quelqu'un
du forum sera peut-être te renseigner.

Au cas où tu n'aurais pas ici de réponse, tu peux peut-être poser
ce genre de question sur le forum du site suivant:

                http://www.les-mathematiques.net/


A+

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
On a alors comme solutions de l équation différentielle: 28-10-03 à 19:35

y'''+y''+y'+y=0
avec y = f(t)

résoudre p³ + p² + p + 1 = 0
(toujours possible de résoudre ce type d'équation)

On touve p = -1 , p = -i et p = i

y = A.e^(-t) + Bcos(t) + C.cos(t)
où A, B et C sont des constantes devrait convenir.
----

Dans le cas général:
y + ay' + by" + cy"' = 0
avec y = f(t)

On cherche les racines de 1 + ap + bp² + p³ = 0 (toujours possible).
Il y a au moins une racine réelle. (p est la variable)

3 cas:
a) 3 racines réelles différentes.
Soient R1, R2 et R3 ces racines.
On a alors comme solutions de l'équation différentielle:
y = A.e^(R1.t) + B.e^(R2.t) + C.e^(R3.t)
Avec A, B et C des constantes.

b) 1 racine réelle R1 et 2 racines complexes conjuguées, soit:
R2 +/- i.R3 ces racines.

On a alors comme solutions de l'équation différentielle:

y = A.e^(R1.t) + e^(R2.t).(B.cos(R3.t) + C.sin(R3.t))
Avec A, B et C des constantes.

c) 3 racines réelles dont une double.
Soient R1 , R2 et R2 ces racines.
On a alors comme solutions de l'équation différentielle:
y = A.e^(R1.t) + B.e^(R2.t) + Ct.e^(R2.t)
--------------------------
Si cela t'intéresse, je peux te fournir la théorie qui permet de
trouver les racines d' une équation x³ + ax² + bx + c = 0.
----------------------------

Attention, cette réponse après un dîner arrosé d'un bonne bouteille de
Gigondas (j'ai, pour un fois, fait des infidélités au Saint-Emilion).
et donc méfiance, surtout dans le cas c.
Le tout remis de mémoire, sans aucune vérification.

A+


Posté par Domi (invité)re : équation différentielle du 3eme ordre 29-10-03 à 09:30

Bonjour,

A l'attention de J-P:  

Très intéressantes tes explications que je lirai ce soir n'ayant
que peu de temps aujourd'hui.


A+



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