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Equation différentielle et déphasage

Posté par
_Adrien_ 07-03-08 à 19:16

Bonjour tout le monde,

J'ai un probleme avec les equations differentielles.
Quand landa, est négatif, la solution est du type:
f(x)=(C1.cos(bx)+C2.sin(bx))exp(ax)

Je sais et applique la résolution suivante en physique:
f(x)=A.cps(bx+µ)exp(ax)

où µ represente le déphasage, comment peut-on remplacer 2 constantes par
une constante de déphasage?

Merci beaucoup, c'est bête mais j'aime comprendre

Edit Coll : forum modifié

Posté par
Pecere : Equation différentielle et déphasage 07-03-08 à 19:49

Et bien la transformation est la suivante :
\rm C_1.\cos(bx)+C_2.\sin(bx)=\sqrt{C_1^2+C_2^2}\left(\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}.\cos(bx)+\frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}.\sin(bx)\right)
Or \rm \left(\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\right)^2+\left(\frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\right)^2=1 donc il existe \rm \mu tel que \rm \left{\cos(\mu)=\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\\ \sin(\mu)=-\frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}} \right.

Et donc on a \rm C_1.\cos(bx)+C_2.\sin(bx)=A.cos(bx+\mu) avec \rm A=\sqrt{C_1^2+C_2^2}

Posté par
Tigweg Correcteurre : Equation différentielle et déphasage 07-03-08 à 19:53

Salut Adrien,

il y a une toute petite propriété pour ça, facile à démontrer:

Pour tous réels a, b et c, a.cos c +b.sin c = r cos (c-u),

où r est le module du complexe a+ib, et où u est l'un de ses arguments

Il suffit d'appliquer ceci!(Pour la preuve, utilise que pour tout couple (p,q) de réels de ]-1;1[x]-1;1[, il existe un réel u tel que p=cos u et q= sin u)

Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : Equation différentielle et déphasage 07-03-08 à 19:53

Bonsoir Pece, tu as été plus rapide

Posté par
Tigweg Correcteurre : Equation différentielle et déphasage 07-03-08 à 20:00

De plus tu as entièrement raison, la condition est bien que p²+q²=1, le fait que p et q soient entre -1 et 1 n'est évidemment pas suffisant!

Posté par
_Adrien_re : Equation différentielle et déphasage 08-03-08 à 16:03

Merci, c'est en effet simple


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