Bonjour, déjà si tu dérives ((g'(x))^2)/2=1+cos(g(x) tu tombes sur g'g"=-g' sin g donc g"+sin g = 0
inversement si tu intègres et utilises les conditions initiales, tu dois pouvoir montrer la réciproque.

tu multiplies l'équation par y'
y'y"+y'siny=0
ensuite tu cherches une primitive puis à l'aide de la valeur en 0 tu trouves la constante

Oui, j'avais bien fait comme ça et ça marchait, mais pour cela il faut prouver que g'(x) n'est pas égal à 0 pour pouvoir simplifier après avoir dérivé.. non ?

si g'(x) était égal à 0 pour tout x, la fonction g(x) serait constante et comme g(0)=0 elle serait toujours nulle.
Et la fonction nulle vérifie bien l'équation différentielle d'ailleurs, mais elle ne vérifie pas g'(0)=2 donc on peut l'exclure.

Ah oui en effet, j'ai du avoir un petit moment d'absence ! :p
Merci beaucoup de votre aide, je bloque également aux deux questions suivantes mais je persevère :
soit h(x)=ln(tan(x/2+pi/4))
Vérifiez de deux manières que h est une primitive de 1/cos sur ]-pi/2,pi/2[
Voilà mes pistes :
Première méthode je dérive h(x) pour retrouver h'(x)=1/cos(x)... Malheureusement je dois faire une erreur car je trouve que h'(x)=1/2sinacosa = 1/sin2a où a=x/2+pi/4
Deuxième méthode : Se débrouiller avec une IPP de 1/cosx ?

oui, si tu as trouvé 1/sin2a = 1/sin(x+pi/2) = 1 / cos (x) donc tout va bien , non ?

l'autre façon, c'est pas avec une IPP, mais en passant par les tan (x/2) donc en posant t = tan(x/2) x = 2 arctan(t) dx = 2dt/(1+t²) et puis cos x = (1-t²)/(1+t²)

Comment passes-tu de 1/sin2a = 1/sin(x+pi/2) ?
Merci pour l'aide

Désolé du multi-post, je suis bête, j'ai compris...

Mon erreur était que je croyais qu'il fallait arriver à 1/cosa.... alors qu'on avait 1/sin2a, bref, erreur d'inattention.
Pour la seconde méthode, il faut faire le changement de variable t<-- tan(x/2) puis recalculer la dérivée de ln(tan(t+pi/4)) c'est ça ? Mais est ce qu'on peut réellement considérer ça comme une méthode différente ? ca y ressemble beaucoup

Encore un post (désolé, il n'y a pas de bouton modifier ?)
Je me suis trompé quand j'ai dit "recalculer la derivée de ln(tan(t+pi/4))". Et je ne vois quand même pas comment m'en sortir avec cette méthode qui est censée etre différente..

A moins qu'il ne faille décomposer tan avec tan(a+b) ?

la première méthode est de dériver ln(tan(x/2+pi/4) et de montrer que l'on tombe sur 1/cos(x), ça tu l'as fait, non ?
la seconde est d'intégrer 1/cos(x) en utilisant le changement de variable que je t'ai indiqué.

Ce sont deux méthodes différentes, ça il me semble ?

J'ai bien fait la première méthode, mais comment intègres-tu 1/cos(x) ?
1/cos(x)= 1+t²/1-t² et c'est là que j'avais tenté une intégration par partie.. Mais qui mène encore sur une fonction dont on ne connait pas la primitive

et le dx = 2dt/(1+t²) il faut le remplacer aussi. les 1+t² vont se simplifier, etc ...

Sinon j'ai peut être une piste, mais bon rien de sûr
intégrale dx/cosx = intégrale cosxdx/cos²x = intégrale cosxdx/1-sin²x puis je pose sinx=t

oui ça revient au même. il te suffit après de décomposer 1/(1-t²) = (1/2) [1/(1+t)-1/(t-1)]

Après décomposition en éléments simples, je trouve
1/(1-t^2) = 1/(2-2t) + 1/(2+2t) et non pas un -
Puis après en intégrant j'ai 1/2 ln(2-2t) + 1/2 (ln 2+2t)

En intégrand j'ai -1/2 ln(2-2t) + 1/2 (ln2+2t) pardon

oui, ne mets pas les 2 à deux endroits en même temps, plutôt (1/2) [ ln|1+t| - ln|1-t|] = (1/2) ln (|1+t|/|1-t|)
là avec des t = 2arctan(x) c'est plus facile de montrer que c'est pareil que ln|tan(x/2+pi/4)| (rappel : tan (a+b) = tan(a)+tan(b)/(1-tan(a)tan(b)) )

avec des t = sin x tu devrais y arriver aussi en passant par sin x = 2u/(1+u²) si u = tan(x/2)

Merci beaucoup de votre aide ! J'ai enfin réussi !

Quoi que.. Je trouve donc, pour primitive de 1/cosx : (1/2) ln((1+t)/(1-t))
Puis je "développe" ln(tan(x/2+pi/4)) et je trouve donc ln((1+t)/(1-t))
Donc pas de (1/2) en vue..

mais tu es avec le t = sin x ou le t = 2 arctan(x) ? avec les arctan, tu as un facteur 2 qui annule le 1/2
avec les sinus tu as aussi (1+sin x)/(1-sinx)= (1+2t/(1+t²))/(1-2t/(1+t²))= (t+1)²/(t-1)² et le ln crée aussi un facteur 2 qui annule le 1/2

Ni l'un ni l'autre.. Vu qu'on a posé au début t=tan(x/2) je pensais qu'il fallait le remplacer par ça..Quelque chose m'échappe

Au début on a posé t=tan(x/2) donc x=2arctant et non pas t=2arctanx

oui tu as raison x=2arctant donc dx = 2dt/(1+t²) le facteur 2 vient de là
mais fais avec les sinus, le facteur 2 apparaît aussi.

Ahhh voilà, !
Franchement merci beaucoup, vos réponses étaient claires et rapides !

Car en fait c'est dès l'integrale que nous avions oublié le 2. Ainsi on obtient :
intégrale dx/cosx = ln(1+t/1-t) et donc il n'y a même pas de "1/2". ENfin, il me semble

Voilà, j'ai réussi la dernière question. Le but du DM était de vérifier qu'il existait une solution à P, puis de vérifier qu'il n'y en avait qu'une. La question n'est pas posée (peut être car la réponse est évidente..), mais je me la pose : en quoi les deux dernières questions (les questions d'avant, que je n'ai pas posées, portent sur l'existence d'une solution, et les deux dernières sur l'unicité) (la relation g'(x)²/2=1+cos(g(x)) ) et celle h'(x)=1/cosx permettent d'affirmer que c'est la seule solution ?

je ne sais pas, je n'ai pas vu les questions dont tu parles sur l'existence de la solution, j'ai perdu le fil de la démarche.

Je résume, il y en a d'autres, mais elles sont là pour "guider la question 1"
On considère le probleme de Cauchy (P) ci dessoss d'inconnue y dans C^2 (R,R).
(P):
pour tout x dans R
{ y''(x)+sin(y(x))=0
{ y(0)=0
{ y'(0)=2


1- Vérifier que f(x)=4arctan(expx)-pi est solution de P
2- Montrez que pour tout x dans R, on a ((g'(x))^2)/2=1+cos(g(x))=2cos^2(g(x)/2)
On admettra dans la suite que cette relation et les conditions g'(0)=2 et g(0)=0 impliquent qu'une telle fonction g est alors croissante et prend ses valeurs dans l'intervalle ]-pi,pi[
3 - On pose h(x)=ln(tan(x/2+pi/4)). Vérifier de deux manières que h est une priitive de la fonction 1/cos sur ]-pi/2,pi/2[

--> Ma question : En déduire que g=f

Les questions avant la 1 étaient :
Simplifiez sin(arctan(u)) et cos(arctan(u))
Vérifier que sin(4v)=4sinvcosv(2cos^2v-1) et en déduire une expression simplifiée de sin(f(x)) ---> (j'ai trouvé -4(e^x-e^3x)/(1+e^2x)² et j'en suis sûr, car ça colle avec la suite)
Vérifier que v est dérivable deux fois et calculer f'(x), f''(x) puis déduire une primitive de la fonction 1/ch.
Montrez que f vérifie le problème P

Vérifiez que f est dérivable 2 fois et non pas v

un problème de cauchy d'ordre 2 qui vérifie 2 conditions initiales a une solution unique, non ?
donc si on en a trouvé une, on a trouvé la bonne.

Je me disais bien que le prof avait oublié une question :
Il vient de nous envoyer un mail en nous rajoutant la question :
En utilisant judicieusement les résultats des deux question précédentes (correspondant à la question numérotée 2 et 3 dans mon post un peu plus haut), conclure que g=f

On a pas vu encore le chapitre des équations différentielles, donc on avait aucune connaissance dessus. Je ne peux donc pas utiliser ce que vous m'avez dit.. :/

y'' + sin(y) = 0

Poser dy/dx = p
d²y/dx² = dp/dx = dp/dy * dy/dx = p.dp/dy

p.dp/dy  + sin(y) = 0
p.dp = -sin(y) dy

p²/2 = cos(y) + K1
p = +/- V(K + 2.cos(y)

dy/dx = +/- V(K + 2.cos(y))

Avec les conditions initiales ---> 2 = +/- V(K + 2)

---> dy/dx = V(2 + 2cos(y))

(dy/dx)² = 2(1 + cos(y))

(dy/dx)²/2 = (1 + cos(y))

Et donc si g vérifie P, on a : (g'(x))²/2 = (1 + cos(g(x)))

Et avec cos(2a) = 2cos²(a) - 1, avec 2a = g(x) ---> 1+cos(g(x)) = 2cos²(g(x)/2)

(g'(x))²/2 = (1 + cos(y)) = 2cos²(g(x)/2)
-----
Sauf distraction.  

Bonsoir et merci pour cette autre approche !
Concernant ma dernière question quelqu'un a une idée ?