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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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équation differentielle ( probleme de cauchy)

Posté par
samii
17-04-19 à 14:42

Bonjour, je suis bloqué dans le début de cet exercice si vous pouvez m'aider.

Soit le problème de Cauchy  ( E ) :   xy'+y=xy^3   avec la condition initiale   y(x_0)=y_0..

1)vérifier qu'il existe une solution maximale de ( E )  sur un intervalle de   \mathbb{R}^*  à préciser.

2)Montrer que si \phi , non identiquement nulle, est solution de ( E ) alors \phi ne s'annule pas. Poser u=\frac{1}{y^2} et résoudre l'équation différentielle.

pour le 1) La fonction f(x,y)=\frac{x{{y}^{3}}-y}{x} est de classe C^1 sur l'ouvert {{\mathbb{R}}^{*}}\times \mathbb{R}, d'après  le théorème de Cauchy Lipschitz, le problème de Cauchy :

\left\{ \begin{aligned}
 \\   & y'=\frac{x{{y}^{3}}-y}{x} \\ 
 \\  & y({{x}_{0}})={{y}_{0}} \\ 
 \\ \end{aligned}\right .
Admet une seule solution.

Comment puis-je préciser l'intervalle de \mathbb{R}^{*} des solutions ?

Tout ce dont je sais qu'il s'agit d'un intervalle ouvert contenant x_0.

La question 2) aussi je n'ai pas compris.

Posté par
carpediem
re : équation differentielle ( probleme de cauchy) 17-04-19 à 18:19

salut

ben on voit qu'il y a un pb lorsque x = 0

donc tout intervalle du type ]-oo, -a[ ou ]a, +oo[ avec a > 0 convient et à la limite on doit pouvoir prendre ]-oo, 0[ ou ]0, +oo[ grace à CL

2/ ben on te propose un changement de variable !!!

u = 1/y^2 => u' = -2y'/y^3 ...

Posté par
samii
re : équation differentielle ( probleme de cauchy) 17-04-19 à 22:40

Bonsoir

Je n'ai pas bien compris ce que tu veux dire pour la 1)

Pour la question deux je n'ai pas compris la première partie de la question c'est-à-dire :

Montrer que si \phi , non identiquement nulle, est solution de ( E ) alors \phi ne s'annule pas.

Posté par
carpediem
re : équation differentielle ( probleme de cauchy) 17-04-19 à 22:58

tout d'abord la fonction constante nulle est solution ...

ensuite si y s'annule pour une valeur de t (qui est donc différente de 0) alors ty'(t) = 0 <=> y'(t) = 0

on a donc une solution vérifiant : y(t) = y'(t) = 0

CL nous dit alors que y = 0 ...

Posté par
samii
re : équation differentielle ( probleme de cauchy) 18-04-19 à 00:52


Si j'ai bien compris la question je doit montrer que si   \phi : I\to \mathbb{R}  est une solution sur un intervalle  I  et si  0\notin I  alors \forall x\in I$ , $\phi (x)\ne 0.

Alors, d'où vient  ton ty'(t)=0 ?

Posté par
samii
re : équation differentielle ( probleme de cauchy) 18-04-19 à 01:42


Supposons que \phi et non identiquement nulle, s'il existe {{x}_{1}}\in I avec {{x}_{1}}\ne 0 tel que \phi ({{x}_{1}})=0 alors {\phi }'({{x}_{1}})=0 , dans ce cas \phi ({{x}_{1}})=cte=0 donc identiquement nulle.

On a une contradiction alors. Ainsi si \phi et non identiquement nulle, alors \phi ne s'annule pas.

C'est bon mon raisonnement ?

Posté par
etniopal
re : équation differentielle ( probleme de cauchy) 18-04-19 à 07:31


Remarque
La question 1 n'est pas claire .  Les ED   xy' + y = xy3   (*) et   y' + y/x = xy3  (**)ne sont pas les mêmes .
  

Puiqu'on veut utiliser CL  on peut commencer par cherche les solutions maximales de l'ED   (**)
Il y a ( ]- , 0[ , x 0  )et  (]0 , +[ , x 0) .
Si (J , y)   est une  solution  maximale  distincte des précédentes  y ne s'annule pas  ( cela résulte de la partie "unicité" de CL ) et z : x   xy(x) ,  vérifie z '(x) = z3(x)/x²  donc z '/z3 =  x²  et il existe un réel c tel que  -1/2z²(x) =  (x3  - c3)/3 pour tout x de J .
On a donc  x < c  et  z(x) = .. , y'x) = ..  ) pour tout x de J .
La maximalité fait que c est une extrémité de J
Si on tient à l'aspect " problème de Cauchy  " ( a , b )  étant donné  dans    +*  la solution maximale (Ja,b , ya,b)  de (**) vérifiant  a J et yanb(a) = b est du type trouvé , c se calculant  en fonction de (a,b) .

Pour la question 2 : Soit (U , f)  une solution de (*)  non identiquement nulle . Il existe donc  un réel a U \ {0}  tel que f(a) 0 .
Si  a > 0  , (U + , f)  est du type trouvé
Si a < 0 on pose V = -U et g : V ,  t   g(t) = f(-t) .
On vérifie que (v , g) est une solution de (*) telle que g(-a) 0 .
On est ramené au cas précedent .


Posté par
carpediem
re : équation differentielle ( probleme de cauchy) 18-04-19 à 09:16

c'est beaucoup plus propre que ce que j'ai dit ...

juste une remarque : si z(x) = xy(x) alors ...z' = z^3/x^2 donc z'/z^3 = 1/x^2

...

Posté par
samii
re : équation differentielle ( probleme de cauchy) 18-04-19 à 22:11


Je ne comprends pas ce que vous racontez !

Posté par
samii
re : équation differentielle ( probleme de cauchy) 19-04-19 à 20:55


Bonsoir, Vous n'avez pas précisé cet intervalle de {{\mathbb{R}}^{*}}



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