Bonjour, je suis bloqué dans le début de cet exercice si vous pouvez m'aider.
Soit le problème de Cauchy : avec la condition initiale .
1)vérifier qu'il existe une solution maximale de sur un intervalle de à préciser.
2)Montrer que si , non identiquement nulle, est solution de alors ne s'annule pas. Poser et résoudre l'équation différentielle.
pour le 1) La fonction est de classe sur l'ouvert , d'après le théorème de Cauchy Lipschitz, le problème de Cauchy :
Admet une seule solution.
Comment puis-je préciser l'intervalle de des solutions ?
Tout ce dont je sais qu'il s'agit d'un intervalle ouvert contenant .
La question 2) aussi je n'ai pas compris.
salut
ben on voit qu'il y a un pb lorsque x = 0
donc tout intervalle du type ]-oo, -a[ ou ]a, +oo[ avec a > 0 convient et à la limite on doit pouvoir prendre ]-oo, 0[ ou ]0, +oo[ grace à CL
2/ ben on te propose un changement de variable !!!
u = 1/y^2 => u' = -2y'/y^3 ...
Bonsoir
Je n'ai pas bien compris ce que tu veux dire pour la 1)
Pour la question deux je n'ai pas compris la première partie de la question c'est-à-dire :
Montrer que si , non identiquement nulle, est solution de alors ne s'annule pas.
tout d'abord la fonction constante nulle est solution ...
ensuite si y s'annule pour une valeur de t (qui est donc différente de 0) alors ty'(t) = 0 <=> y'(t) = 0
on a donc une solution vérifiant : y(t) = y'(t) = 0
CL nous dit alors que y = 0 ...
Si j'ai bien compris la question je doit montrer que si est une solution sur un intervalle et si alors .
Alors, d'où vient ton ty'(t)=0 ?
Supposons que et non identiquement nulle, s'il existe avec tel que alors , dans ce cas donc identiquement nulle.
On a une contradiction alors. Ainsi si et non identiquement nulle, alors ne s'annule pas.
C'est bon mon raisonnement ?
Remarque
La question 1 n'est pas claire . Les ED xy' + y = xy3 (*) et y' + y/x = xy3 (**)ne sont pas les mêmes .
Puiqu'on veut utiliser CL on peut commencer par cherche les solutions maximales de l'ED (**)
Il y a ( ]- , 0[ , x 0 )et (]0 , +[ , x 0) .
Si (J , y) est une solution maximale distincte des précédentes y ne s'annule pas ( cela résulte de la partie "unicité" de CL ) et z : x xy(x) , vérifie z '(x) = z3(x)/x² donc z '/z3 = x² et il existe un réel c tel que -1/2z²(x) = (x3 - c3)/3 pour tout x de J .
On a donc x < c et z(x) = .. , y'x) = .. ) pour tout x de J .
La maximalité fait que c est une extrémité de J
Si on tient à l'aspect " problème de Cauchy " ( a , b ) étant donné dans +* la solution maximale (Ja,b , ya,b) de (**) vérifiant a J et yanb(a) = b est du type trouvé , c se calculant en fonction de (a,b) .
Pour la question 2 : Soit (U , f) une solution de (*) non identiquement nulle . Il existe donc un réel a U \ {0} tel que f(a) 0 .
Si a > 0 , (U + , f) est du type trouvé
Si a < 0 on pose V = -U et g : V , t g(t) = f(-t) .
On vérifie que (v , g) est une solution de (*) telle que g(-a) 0 .
On est ramené au cas précedent .
c'est beaucoup plus propre que ce que j'ai dit ...
juste une remarque : si z(x) = xy(x) alors ...z' = z^3/x^2 donc z'/z^3 = 1/x^2
...
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