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équation différentielle ; réponse non comprise

Posté par
pppa 26-12-11 à 16:52

J'ai essayé de résoudre la question suivante, mais je n'ai aps compris la réponse, en refaisant 3 fois l'exercice.

Merci de me dire où je me trompe.

Un corps à la température \rm\theta se trouve placé ds une enceinte à température constante \rm\alpha. La variation \rm d\theta de la tempéraure de ce corps pdt un tps infiniment petit  dt est proportionnelle à dt et à la différence (\rm\theta - \alpha )

Dc : d\theta = -k.(\theta - \alpha ).dt. (1)

Pr t = 0, \rm\theta = \theta_0.

Exprimer \rm\theta en fonction de t.

De (1) je 'tire' \rm \dfrac{d\theta}{dt}+k.\theta = k.\alpha
soit une equadiff de variable t de la forme y' + ky = k.\alpha
(classique).

Je résouds l'équation homogène, et trouve \theta = C.e^{-kt}, et avec les données de l'énoncé, j'établis que C = \theta_0.

Je cherche ensuite une solution particulière par la méthode de la variation de la Cte, et je trouve tjs
\theta_0 (t) = \alpha . e^{kt}, soit, en reportant ce résultat ds celui de l'équation homogène, \theta_0 (t) = \alpha ,

J'additionne les résultats de l'équation homogène et celui de la solution part, et je trouve
\theta = \theta_0.e^{-kt}+\alpha.

Or la réponse donnée pr poursuivrre l'exercice est : \theta = (\theta_0 - \alpha).e^{-kt}+\alpha.


Où est mon erreur ? je ne comprends pas malgré mes recherches...

Merci de me dire

Posté par
kybjmre : équation différentielle ; réponse non comprise 26-12-11 à 17:11

1. vérifie ' + k =

2.Tu cherches les y qui vérifient y ' + ky = 0 . Tu trouves les t c.exp(-kt) .
Aucune de ces y n'est la que tu cherches. Tu as c = y(0) ,c'est tout .

3.Remarque si tu poses f = - tu as f ' - kf = 0 donc f est de la forme t c.exp(-kt) et comme f(0) = 0 - tu obtiens : t + (0 - )exp(-kt) .

Posté par
kybjmre : équation différentielle ; réponse non comprise 26-12-11 à 17:14

Tu as du remarquer qu'il faut remplacer , dans la première ligne, par k au second membre.

Posté par
Glapion Moderateurre : équation différentielle ; réponse non comprise 26-12-11 à 17:15

Bonsoir, si pour t=0 =0 alors on n'a pas =0e-kt+
tu en étais à la solution générale de la forme =Ce-kt+, fait t=0 ça donne 0=C+ donc C=0- et donc on trouve bien la réponse donnée.

Posté par
pppare : équation différentielle ; réponse non comprise 26-12-11 à 18:11

Dc si je comprends bien : \rm \dfrac{d\theta}{dt}+k.\theta = k.\alpha serait faux.

Prquoi le k ne se distribue pas sur ?

merci de me dire

Posté par
kybjmre : équation différentielle ; réponse non comprise 26-12-11 à 18:14

Mais enfin !!
Tu cherches telle que ' + k( - ) = 0 . non ? .

Posté par
pppare : équation différentielle ; réponse non comprise 26-12-11 à 18:19

Pardon Kybjm, je n'avais pas fais attention à votre message de 17 h 14 ; mon précédent message est dc sans objet ; excuses.

Pr autant, j'ai encore du mal à comprendre la suite ...

Posté par
pppare : équation différentielle ; réponse non comprise 26-12-11 à 18:29

Bon : je pars de l'énoncé : d\theta = -k.(\theta - \alpha ).dt

je transforme en \rm \dfrac{d\theta}{dt} = -k.\theta + k.\alpha

soit \rm \dfrac{d\theta}{dt}+k.\theta = k.\alpha

Dc selon moi, si ce qui précède est exact, l'équation homogène à résoudre est \rm \dfrac{d\theta}{dt}+k.\theta = 0, soit de la forme '+k. = 0


et je trouve comme solution de l'équation homogène \theta = C.e^{-kt} (C=0).

Dc je ne retrouve pas la forme que vs indiquez ds votre message de 18 h 14

'+k.(-) = 0

Merci de me dire où est la faille de mon raisonnement à ce niveau là svp

Posté par
kybjmre : équation différentielle ; réponse non comprise 26-12-11 à 19:10

Je te l'ai dit . Une solution de  l'équation homogène n'est pas une que tu cherches !
..Utilise des notations cohérentes qui t'empêcheront de te tromper .
..Je t'ai fait remarquer que tu pouvais court-circuiter le passage par l'équation homogène .

Posté par
pppare : équation différentielle ; réponse non comprise 26-12-11 à 19:18

>>Kybjm : je reprends votre mesasge de 18 h 14 : on cherche la fonction t.q. '+ k.(-) = 0 ; k et sont des constantes.

Ca revient bien à poser : '+ k. = k. ? (a)

Avec \rm\theta (t) = C.e^{-kt} comme solution de l'équation homogène correspondante, je trouve comme solution complète de (a) \rm\theta (t) = C.e^{-kt} + \alpha, qui vérifie , me semble-t-il, l'équation (a).

Alors je ne prétends pas avoir raison, puisque votre niveau et votre accord avec la solution donnée vs donnent raison, mais vraiment j'ai du mal à comprendre là, et il faut que je comprenne.

Expliquez-moi svp

merci d'avance pr votre aide

Posté par
pppare : équation différentielle ; réponse non comprise 26-12-11 à 20:23

Non, j'ai encore travaillé près d'une heure dessus, je ne comprends tjs pas.

Pr que je m'en sorte, je vs propose de vs donner monraisonnement étape par étape, et à chq étape, qu'on me dise si ce que j'ai écrit est correct ou pas, et qu'est-ce qui ne va pas.

Merci pr votre patience.

Alors je commence :

1ere étape : d\theta = -k.(\theta - \alpha ).dt ; c'est l'énoncé

dc : \dfrac{d\theta}{dt} + k.\theta  = k.\alpha ( et k, constantes)

Est-ce que jusque là ça va ?

Posté par
Glapion Moderateurre : équation différentielle ; réponse non comprise 26-12-11 à 21:41

tu n'as pas lu mon post ? tout ce que tu as fait est juste jusqu'à =Ce-kt+ compris.
Et après je t'ai expliqué comment arriver au résultat.

Posté par
pppare : équation différentielle ; réponse non comprise 26-12-11 à 23:28

je suis désolé Glapion (désolé pr moi aussi qui ait tourné en rond pdt + d'une heure alors que vs m'aviez donné la solution).

Je me suis focalisé sur le résultat C = \theta_0 obtenu à partir de la solution de l'équation homogène, sans vérifier que ça ne "collait" plus ds la solution complète...

Bien sur qu'en lisant attentivement votre message, je comprends mon erreur et comment on aboutit à la solution à trouver.

Encore grand merci, et mes excuses pr être passé trop vite sur votre réponse précieuse qui m'aurait fait gagner bcp de tps.. si je l'avais lue + attentivement


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