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Equation differentielle : variation de la constante

Posté par
matheux14 15-05-22 à 04:06

Bonjour,

Merci d'avance.

En utilisant la méthode de la variation de la constante, résoudre :

(E_2) : y'' -4y' +4y = \sin(2x) e^x,  x\in \R

La solution de l'équation homogène est : (Ax + B) e^{2x}

Mais là je ne vois pas comment faire pour trouver le système ainsi que le Wronskien

Posté par
matheux14re : Equation differentielle : variation de la constante 15-05-22 à 04:19

y_h = xA(x) e^{2x} + B e^{2x}

(S) : \begin{cases} y_1 (x) (xA(x))' + y_2 (x) B'(x) = 0 \\\  y'_1 (x) (xA(x))' + B'(x) (y_2'(x)) = \sin(2x)e^x \end{cases}

Le Wronskien W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\ y'_1 & y'_2 \end{vmatrix}

(xA(x))' = \dfrac{y_1 \sin(2x)e^x}{W} et B = \dfrac{y_2 \sin(2x)e^x}{W}

Posté par
larrechre : Equation differentielle : variation de la constante 15-05-22 à 08:26

Bonjour,

Il faut que tu choisisses une base de l'équation sans second membre, c'est à dire 2 solutions linéairement indépendantes, par exemple

y1=e2x  (A=1, B=0)

y2=xe2x (A=0, B=1)

Posté par
matheux14re : Equation differentielle : variation de la constante 15-05-22 à 16:50

* Equation homogène  :

(E_h) : y'' - 4y' +4y = 0

Equation caractéristique :

(E_q) : r^2 -4r +4 = 0 \\\ r_0 = 2

Solution de l'équation homogène : y_h = (A x +B)e^{2x}

* y_h = A x e^{2x} + B e^{2x}

Base de l'équation homogène :

y_1 = e^{2x} ( A = 0 ; B = 1) \\\\ y_2 = xe^{2x} (A = 1 ; B = 0)

Le Wronskien de cette base est :

W = \begin{vmatrix} \\ y_1 & y_2\\ \\ y'_1 & y'_2 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \\ e^{2x} & xe^{2x}\\ \\ 2e^{2x} & 2xe^{2x} + e^{2x} \\ \end{vmatrix} = e^{4x} \neq 0

A'(x) = \dfrac{\begin{vmatrix} \\ 0 & xe^{2x}\\ \\ \sin(2x) e^{2x} & 2xe^{2x} + e^{2x} \\ \end{vmatrix}}{W}= -\dfrac{x e^{3x} \sin(2x)}{e^{4x}}= -xe^{-x}\sin(2x)

\checkmark A(x) = - \int  xe^{-x}\sin(2x)  dx = -2\int  xe^{-x}\sin(x)  \cos(x) dx

Par partie : u(x) = x \cos(x) ~~~ u'(x) = \cos(x) -x \sin(x) \\\\ v'(x) = e^{-x} \sin(x) ~~~ v(x) = -\dfrac{e^{-x}}{2}(\cos(x) + \sin(x))

A(x) = e^{-x} \left(x \cos^2(x) + \left(x - \dfrac{1}{5}\right) \sin(2x) -\dfrac{2}{5}e^{-x} \cos(2x) \right)

\checkmark B'(x) = \dfrac{\begin{vmatrix} \\ e^{2x} & 0\\ \\ 2e^{2x} & \sin(2x) e^{x} \\ \end{vmatrix}}{W} = e^{-x} \sin(2x) \\\\ B(x) = \dfrac{e^{-x}}{5}\left(2 \sin(2x) - \cos(2x)\right)

Alors \boxed{Y(x) = (Ax +B)e^{2x} + xe^{x} \left(x \cos^2(x) + \left(x - \dfrac{1}{5}\right) \sin(2x) -\dfrac{2}{5}e^{-x} \cos(2x) \right) + \dfrac{e^{x}}{5}\left(2 \sin(2x) - \cos(2x)\right)}

Posté par
larrechre : Equation differentielle : variation de la constante 15-05-22 à 18:45

C'est juste jusqu'aux expressions de A'(x) et de B'(x), mais ça se gâte quand tu passes aux primitives.

Pour B' par exemple, une primitive est  \dfrac{-1}{5}e^{-x}(\sin(2x)+2\cos(2x))

Le plus simple est de passer par l'exponentielle complexe , de primitiver e^{(2i-1)x}, puis de ne garder que la partie imaginaire.

Même chose pour A' (avec une IPP en plus à cause du x en facteur)

De toute façon, ces calculs sont toujours extrêmement pénibles, et là encore, au lieu de faire varier les constantes, il vaut mieux chercher des formes semblables a celle du second membre.

Mais j'imagine que ce sont des méthodes qui te sont imposées , et puis il faut bien avoir un peu pratiqué cela.

Posté par
matheux14re : Equation differentielle : variation de la constante 15-05-22 à 19:56

Citation :
Pour B' par exemple, une primitive est  \dfrac{-1}{5}e^{-x}(\sin(2x)+2\cos(2x))


Oui, c'est bien ce que je trouve en faisant une IPP.. je viens de me rendre compte que j'ai inverser en recopiant ici.

Pour A j'avais fait une erreur de calcul effectivement.

A = \int x e^{-x} \sin(2x) dx = 2 \int xe^{-x} \sin(x) \cos(x) dx

u(x) = x \cos(x) ~~~ u'(x) = \cos(x) -{\red{x}}\sin(x) \\\ v'(x) = e^{-x}\sin(x) ~~~ v(x) = - \dfrac{e^{-x}}{2}(\cos(x) + \sin(x))

S'il n' y avait ce truc en rouge ce serait juste

Citation :
Le plus simple est de passer par l'exponentielle complexe , de primitiver e^{(2i-1)x}, puis de ne garder que la partie imaginaire.


Ok je teste voir

Posté par
matheux14re : Equation differentielle : variation de la constante 16-05-22 à 00:43



En multipliant par x cette fois ci on trouve celle de A :

A = \dfrac{e^{-x}}{5}\left(x \sin(2x) +2x \cos(2x) + \dfrac{3}{5} \sin(2x) + \dfrac{4}{5} \cos(2x) \right)

Posté par
larrechre : Equation differentielle : variation de la constante 16-05-22 à 08:21

Un problème de signe

A = \dfrac{e^{-x}}{5}\left(x \sin(2x) +2x \cos(2x) {\red{-}} \dfrac{3}{5} \sin(2x) + \dfrac{4}{5} \cos(2x) \right)

Il ne reste plus qu'à recoller les morceaux et terminer le calcul.
Une jolie petite surprise au bout.

Posté par
larrechre : Equation differentielle : variation de la constante 16-05-22 à 21:43

Une erreur que je n'avais pas vue, tu as, en cours de route, interverti A(x) et B(x).

Je reprends brièvement. On cherche une solution de la forme

y= A(x) x e^{2x}+B(x) e^{2x}, en imposant la condition A'(x) x e^{2x}+B'(x) e^{2x} =0

On est alors conduit à résoudre le système différentiel

A'(x) x e^{2x}+B'(x) e^{2x} =0

A'(x)(e^{2x}+2xe^{2x})+2B'(x) e^{2x}=e^x sin(2x)

dont on tire

A'= e^{-x}sin(2x) d'où A(x)=\dfrac{-1}{5}e^{-x}(\sin(2x)+2\cos(2x))

et

B'=-xe^{-x}sin(2x), d'où B(x)= \dfrac{e^{-x}}{5}\left(x \sin(2x) +2x \cos(2x) - \dfrac{3}{5} \sin(2x) + \dfrac{4}{5} \cos(2x) \right)

Voilà, rectifie sur ta copie.

Posté par
matheux14re : Equation differentielle : variation de la constante 17-05-22 à 22:48

J'ai pas compris \small A'(x) = \dfrac{\begin{vmatrix} \\ \\ 0 & xe^{2x}\\ \\ \\ \sin(2x) e^{2x} & 2xe^{2x} + e^{2x} \\ \\ \end{vmatrix}}{W}            et         \small B'(x) = \dfrac{\begin{vmatrix} \\ \\ e^{2x} & 0\\ \\ \\ 2e^{2x} & \sin(2x) e^{x} \\ \\ \end{vmatrix}}{W} non ?

Posté par
larrechre : Equation differentielle : variation de la constante 17-05-22 à 23:05

Non. Le système à résoudre est (j'espère que tu es d'accord là dessus):

A'(x) x e^{2x}+B'(x) e^{2x} =0

A'(x)(e^{2x}+2xe^{2x})+2B'(x) e^{2x}=e^x sin(2x)

Ne t'occupe pas des formules toutes faites et résous le en A', B' comme un système de 2 équations à 2 inconnues sans utiliser les formules de Cramer.

Tu tires A' de la première que tu reportes dans la seconde, ce qui donne B'. Puis connaissant B' tu trouves A'.

Posté par
matheux14re : Equation differentielle : variation de la constante 18-05-22 à 00:13

Ok mais y a t il un piège à éviter si on utilise les formules ?

Posté par
larrechre : Equation differentielle : variation de la constante 18-05-22 à 09:43

Le tout est de faire attention à ce qu'on écrit. Si tu appliques ces formules au système que j'ai rappelé hier soir à  23h05, tu verras que tu retrouves les bonnes valeurs de A' et B'.

Ce qui s'est passé: ton post du 15 à 16h50,

Citation :
* y_h = A x e^{2x} + B e^{2x}  soit \red{y_h=Ay_1+By_2} avec   \red{y_1=xe^{2x}}   et \red{y_2=e^{2x}}

Base de l'équation homogène :

y_1 = e^{2x} ( A = 0 ; B = 1) \\\\ y_2 = xe^{2x} (A = 1 ; B = 0)    et là, tu échanges y1 et y2
Le Wronskien de cette base est :

W = \begin{vmatrix} \\ y_1 & y_2\\ \\ y'_1 & y'_2 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \\ e^{2x} & xe^{2x}\\ \\ 2e^{2x} & 2xe^{2x} + e^{2x} \\ \end{vmatrix} = e^{4x} \neq 0
et les colonnes du Wronskien sont ainsi échangées.

Il est préférable  commencer par écrire correctement le système à. résoudre avant de se lancer dans les calculs.

Posté par
matheux14re : Equation differentielle : variation de la constante 18-05-22 à 19:40

Ah ok je vois


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