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Equation différentielle y'=ay
Bonjour,
j'ai résolu une équation différentielle:
2Y'-3Y=0 
Y'=3/2Y
D'où les solutions sur R de cette équation sont:
Yk(x)= ke^3/2x. (k réel).Pour la solution du livre c'est bon.
Mais, pour l'équation différentielle:
2y'-y=0
Pour Moi, les solutions sur R sont:
yk(x)= ke^1/2x avec k réel.
Par contre, la solution du livre c'est : yk(x)=e^(1/2x+k) et yk(x)=-e^(1/2x+k)
La multiplication est par e^k et non par k. Pourtant k et e^k sont différent.
Sinon, merci de m'expliquer pourquoi e^k au lieu de k.
salut
2y'=y
soit I un intervalle de R tel que y ne s'annule pas sur I
y'/y = 1/2
on intègre
ln|y| = (1/2)t + k
|y| = exp( (1/2)t + k)
donc les solutions sont :
y(t) = exp( (1/2)t + k)
ou
y(t) = -exp( (1/2)t + k)
Bonjour,
Merci pour la réponse.
Sur le principe qu'une constante K est quelconque oui.
Mais k est un réel qui peut être nul.
Par contre e^k non. Je pense ?
f(x)dx = F(x) + C
2y' - y = 0
a)
y = 0 (fonction nulle convient)
b) si y est différent de 0, alors:
y'/y = 1/2
ln|y| = (1/2)t + k
y(t) = +/- e^((1/2)t + k)
Les solutions de 2y'-y = 0 sont :
a) f(t) = 0
b) f(t) = e^((1/2)t + k)
c) f(t) = - e^((1/2)t + k)
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On peut montrer que ces 3 familles de solutions sont équivalentes à f(t) = K.e^(1/2x) avec K réel quelconque.
En effet :
f(t) = e^((1/2)t + k) = f(t) = e^k * e^((1/2)t)
et en posant e^k = K1 : f(t) = K1 * e^((1/2)t) (Avec K1 > 0)
f(t) = - e^((1/2)t + k) = f(t) = - e^k * e^((1/2)t)
et en posant e^k = K1 : f(t) = -K1 * e^((1/2)t) (Avec K1 > 0)
En regroupant les 2 solutions, il vient f(t) = K2 * e^((1/2)t) avec K2 réel de R*.
Et en regroupant avec la solution f(t) = 0 (fonction nulle), il vient:
f(t) = K * e^((1/2)t) avec K un réel quelconque.
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Sauf distraction. 
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