Bonjour, Oui il faut faire une double intégration par partie. tu vas trouver e^x(sin x + cos x)/2 comme primitive
Cela dit, tu te serais donné moins de mal en cherchant directement ta solution particulière sous la forme A cosx+B sinx car vu le second membre, on devine que la solution particulière a de bonnes chances d'être de cette forme là.

Merci de votre aide.

J'ai tout de même une question à vous poser.
Je pensais que la deuxième méthode ne pouvait s'utiliser que pour les équations du deuxième ordre.

Concernant la double intégration par partie:
J'ai donc k'(x)=cosxe^x

   On pose: u(x)=cosx    u'(x)=-sinx
            v'(x)=e^x    v(x)=e^x

   k(x)=cosxe^x
       =[cosxe^x]+sinxe^x
      
   On pose a(x)=sinx     a'(x)=cosx
           b'(x)=e^x    b(x)=e^x

   k(x)=[cosxe^x]+[sinxe^x]-cosxe^x

   Donc 2cosxe^x=e^x(cosx+sinx)

J'étais en train de vous écrire ma démarche pour chercher où était mon erreur et je l'ai grâce à vous. J'oubliais de passer la primitive à gauche et de les additionner.

Merci.

Oui voilà tu retombes sur ta primitive avec un signe -, tu la passes à gauche et tu divises par 2.

Et donc tu as trouvé les solutions de l'équation générale : y=Ke^-x+(cos x + sin x)/2

Bonjour
ce n'est pas parce que tu es en école d'ingé que tu dois oublier les trucs simples vu en terminale

l'équation y' = ay a pour solution générale , directement.