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Equation différentielles

Posté par bosz28 (invité) 04-06-06 à 20:28

Je ne voit vraiment pas comment je peut résoudre ce type d'équation :
(xy-x2)y'=y2

C'est le y2 qui me dérange lol! merci d'avance^^ciaoo

Posté par
raymond CorrecteurRe : Equation différentielles 04-06-06 à 22:42

Bonsoir.
En posant y = tx, donc dy = tdx + xdt, on doit se sortir d'affaire.
cordialement RR.

Posté par bosz28 (invité)re : Equation différentielles 04-06-06 à 23:53

je vois toujourpas désolé :S.

Posté par
elhor_abdelali CorrecteurRe : Equation différentielles 05-06-06 à 02:30

Bonsoir;
Notons notre équation différentielle 2$\fbox{(E){:}(xy-x^2)y'=y^2}.Résoudre (E) c'est determiner (quand elles existent) toutes les fonctions \fbox{f{:}\mathbb{R}\to\mathbb{R}} dérivables et telles que \fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\(xf(x)-x^2)f'(x)=(f(x))^2}
Condition nécéssaire:
La fonction nulle est clairement solution de (E).
Soit f une solution non nulle de (E) il existe donc un réel non nul x_0 tel que f(x_0)\neq0 et par continuité de f on est sûr de l'existence d'un intervalle ouvert I ne contenant pas 0 sur lequel f ne s'annule pas.
En posant \fbox{\forall x\in I\\g(x)=\frac{f(x)}{x}} on voit que \fbox{\forall x\in I\\f(x)=xg(x)\\f'(x)=g(x)+xg'(x)} et donc \fbox{\forall x\in I\\(x^2g(x)-x^2)(g(x)+xg'(x))=x^2(g(x))^2} en simplifiant par x^2 et en développant on a \fbox{\forall x\in I\\x g(x)g'(x)-g(x)-xg'(x)=0} et en divisant par xg(x) on aboutit à \fbox{\forall x\in I\\g'(x)-\frac{1}{x}-\frac{g'(x)}{g(x)}=0} et en intégrant sur l'intervalle I on a l'existence d'une constante réelle k telle que \fbox{\forall x\in I\\g(x)-ln(|x|)-ln(|g(x)|)=k} ou encore 4$\blue\fbox{\forall x\in I\\\frac{f(x)}{x}-ln(|f(x)|)=k}
le problème revient donc à résoudre une équation fonctionnelle.
à suivre (sauf erreurs bien entendu)







Posté par
elhor_abdelali CorrecteurRe : Equation différentielles 05-06-06 à 19:20

Bonjour;
Il est facile de voir à partir de l'équation (E) que f' ne s'annule pas sur I d'où (en utilisant la continuité de f' sur I) f' est de signe constant sur I
f est donc strictement monotone sur I et réalise par conséquent une bijection de I sur un intervalle J
en notant h_k sa bijection réciproque il est facile de voir que 3$\fbox{\forall t\in J\\h_k(t)=\frac{t}{ln(|t|)+k}}
Condition suffisante:
une petie étude des fonctions h_k (suivant le paramétre réel k) montre que:
(*)h_k est une bijection impaire et strictement décroissante de ]-e^{-k},e^{-k}[ dans \mathbb{R}
(*)h_k(0)=h_{k}^{'}(0)=0
En notant f_k la bijection réciproque de la restriction de h_k à l'intervalle ]-e^{-k},e^{-k}[ il est facile d'établir que:
(*)f_k est dérivable sur \mathbb{R}^* et n'est pas dérivable en 0.
(*)f_k est impaire.
(*)2$\fbox{\forall x\in\mathbb{R}^*\\\frac{f_k(x)}{x}=ln(|f_k(x)|)+k}
En dérivant l'expression encadrée on trouve que f_k est bien solution sur \mathbb{R}^* de l'équation différentielle 2$\fbox{(E){:}(xy-x^2)y'=y^2}.

Conclusions:
(*)(E) n'admet pas de solution sur \mathbb{R} tout entier autre que la fonction identiquement nulle.
(*)Les solutions de (E) définies sur \mathbb{R}^* sont les fonctions f_k définies ci-dessus.
(Sauf erreurs bien entendu)

Posté par
kachouyab Equation différentielles 06-06-06 à 19:02

Bonsoir
Bonsoir Elhor.on peut aussi remlarquer que l'équation diff. s'écrit ;
   xyy'-y²=x²y'  equivalent   (xy'-y)/x²=y'/y       (avec y non nulle)
                 équivalent     (y/x)'=(ln|y|)'    
            D'ou    y(x)=  x(ln|y(x)|)+ kx   /  k constante
* et inversement
*y=0 est aussi solution de l'équation.
















    

Posté par
elhor_abdelali CorrecteurRe : Equation différentielles 07-06-06 à 00:40

Bonsoir kachouyab


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