Salut

Modulo 2 : et (2), ce qui signifie que y est impair donc

Avec le meme raisonnement, on peut déduire des choses modulo 3 et 5 et trouver des ensembles pour toutes les variables. Grace à ça tu auras tes solutions (il y en a 6).

Bonjour,

une idée possible est de résoudre "comme d'hab" l'équation
10x+15y = 113-6z
c'est à dire le système
2x+3y= K avec comme paramètre K
113 - 6z = 5K

(donc deux équations diophantiennes)

ce sera quasi incontournable (en Terminale) de résoudre de toute façon deux équations diophantiennes
et tu obtiendras au final

x = x0 + ...k + ... n
y = y0 + ... k + ... n
z = z0 + ...k + ...n

où k et n sont des entiers arbitraires quelconques "parcourant" indépendamment Z

c'est ça la solution (dépend de deux entiers arbitraires)

tu dois pouvoir aussi faire le même genre de chose pour continuer le début de ton calcul mais comme j'ai dit résoudre deux équations est incontournable.

(et on restreint k et n aux bornes qui vont bien pour ne garder que les solutions dans N³, par un système d'inéquation dans R et la partie entière)

Bonjour et merci de vos réponses !

Slpok @ 11-05-2018 à 21:35

Salut

Modulo 2 : et (2), ce qui signifie que y est impair donc

Avec le meme raisonnement, on peut déduire des choses modulo 3 et 5 et trouver des ensembles pour toutes les variables. Grace à ça tu auras tes solutions (il y en a 6).

les diviseurs de 113 je m'en fiche
c'est les diviseurs de (113-6z) qui sont importants dans cette méthode

et comme PGCD de 10 et 15 est 5
il doit diviser 113-6K

d'où le fait de poser 113-6z = 5K
et par conséquent 10x+15y = 5K et donc 2x+3y= K

pour les congruences de Slpok (ce sera ici, dans N³, le plus rapide !! car les nombres sont petits et donc le nombre d'essais à effectuer aussi)
10x ≡ 0 [2] quelque soit x
6z ≡ 0 [2] quel que soit z

reste 15*y ≡ 1*y [2] car 15 ≡ 1 [2]
(il a écrit 5y par faute de frappe, mais c'est de toute façon pareil, 5 et 15 étant tous deux impairs)

dans la recherche des solutions dans N³ directement, y ≤ 7 car y < 113/15 = 7.53...

* il doit diviser 113-6z

Okay j'ai mieux compris les deux méthodes même si je pense que celle des 2 équations diophantiennes reste floue et longue...
Je préfère la méthode des congruences.
Donc y est nécessairement pair et x et z aussi, ce sont donc des entiers naturels non nuls (puisque pour x=0 et/ou z=0, ça ne fonctionne pas). Comment prouver que y est inférieur ou égal à 7 ? Pourquoi faire 113/15 ?

salut

voici ma methode  sauce maison   , on part de 10x+15y+6z=113
j'ecris que  
10= 4[6]
15=3[6]
6=0[6]   ensuite:
  
10x= 4x[6]
1y5=3y[6]
6z=0[6]   ensuite  on addtionne le tout :

4x+3y=113[6]  <--> 4x+3y=5[6]  <--> 4x+3y= 6p+5 .(1)

ensuite :
4=1[3]
3=0[3]
et j'ecris :
4x=x[3]
3y=0[3]   ensuite on addtionne membre à membre et cela donne  
6p+5 =x[3]   soit dnc  x = 6p+5[3]  ou encor x = 6p +3q+5 .

puisqu'on a une expression de x utilisons la dans : 4x+3y= 6p+5 .
en remplacant x par ce qu'il vaut  il vient apres simplification :
3y =-18p-12q-15   soit  y = -6p -4q -5.

reste à trouver z à partir de l'equation de depart 10x+15y+6z=113  et c'est immediat
on trouve z = 5p -5q +23

du coup  :
x = 6p +3q+5
y = -6p -4q -5
z = 5p -5q +23

verification si on choisit p=q=1  on a x = 14 , y = -15 et z =33  qui verifie bien l'equation de depart , de meme si on prend  p=q=0  alors x=5,y=-5 et z=23 c'est verifié aussi .

au final on ne trouve que des equations parametriques d'un plan dont l'équation est
cartesienne est 10x+15y+6z=113

Pas mal cette méthode, mais l'énoncé me dit qu'il faut résoudre dans NxNxN et non dans ZxZxZ. Il faudrait donc isoler chaque cas pour faire en sorte que x, y et z soient des entiers positifs, ce qui est atrocement long, non ?

atrocement long, faut pas pousser
c'est résoudre le système d'inéquations (dans R !, puis utiliser la partie entière)

6p +3q+5 ≥ 0
-6p -4q -5 ≥ 0
5p -5q +23 ≥ 0
ce qui va en fait définir un domaine du plan {p; q} déterminant l'ensemble des valeurs de p et q qui conviennent (qui donnent des x,y,z tous dans N)

Là pour le coup je ne comprends pas comment résoudre ce système. Et puis même, si je réussis à le résoudre, où est-ce que ça va m'amener ? Je vais avoir un intervalle dans lequel je devrai tester toutes les solutions ?

tu n'auras pas un intervalle puisqu'il y a deux variables p et q

tu auras un domaine du plan (p; q)
dans lequel il n'y aura rien à "tester" parce que chaque valeur entière de ce domaine sera directement une solution.

illustration de cette méthode :

raaah (pas la peine de mettre une image fausse)
encore faudrait il des équations exactes

x = 6p +3q+5
y = -6p -4q -5
z = 5p -5q +23

10x+15y+6z=113
10(6p +3q+5)+15(-6p -4q -5)+6(5p -5q +23 )= (60-90+30)p +(30-60-30)q +(50 -75+138 = -60q + 113
n'est pas égal à 113 quels que soient p et q dans Z
(une erreur de signe quelque part, la flemme de la traquer)

Erreur de signe pour z : z=5p+5q+23 et non 5p-5q+23...

OK

et donc la figure promise :



les valeurs de p et q qui conviennent sont celles qui sont entières et dans le triangle ABC délimité par les droites
et donc directement les 6 valeurs de couples (p; q) qui donnent les 6 solutions directement
(c'est comme ça qu'on résout un système d'inéquations à deux inconnues)

bon c'est vrai que on peut se poser la question de l'efficacité d'une telle méthode
mais c'est un peu ce qu'il se passe en général avec des équations dans N que l'on résout via Z (ou pire via Q !)
et comme résoudre directement dans N n'est en fait qu'une batterie de tests et essais, il ne faut pas s'attendre à des améliorations spectaculaires dans les méthodes

Aaah d'accord, merci beaucoup, j'ai compris la méthode. Après il fallait voir qu'il fallait travailler modulo 6 puis 3.
Il n'y a vraiment aucune autre manière de résoudre un système d'inéquations du premier degré à deux inconnues ?

bein non car de toute façon "la solution" du système d'inéquations, est quoi qu'on fasse un domaine (une surface) du plan (p; q) (sauf si le système dégénère)
il faut donc bien décrire cette surface
ici "les points intérieurs au triangle ABC"

Après il fallait voir qu'il fallait travailler modulo 6 puis 3.
ça c'est pour les équations diophantienne
il y a (comme j'en ai suggéré une) des méthodes systématiques plutôt que de "voir" que etc

résoudre ax+by+cz=D :
Soit p = PGCD(a,b), a' = a/p, b' = b/p
Soient u0 et v0 une solution particulière de a'u + b'v = c
z0, t0 une solution particulière de cz + pt = D
x0, y0 une solution particulière de a'x + b'y = t0

La solution générale de ax + by + cz = D est :
x = x0 + b'k - u0m
y = y0 - a'k - v0m
z = z0 + pm
où k et m parcourent indépendamment Z

c'est ce que donne ma méthode en la développant
(écrire que ax+by = D - cz en considérant "D-cz" comme un paramètre = K de cette équation
et en résolvant ax+by = K et K = D - cz)

comme elle est systématique, elle peut se programmer, et on sait qu'un programme ne "voit" rien du tout, lui
un script pour faire ça :
avec notre équation 10x+15y+6z=113 il donne

PGCD(10,15) = 5

Solution de 2u + 3v = 6 : u0 = 3, v0 = 0
Solution de 6z + 5t = 113 : z0 = 3, t0 = 19
Solution de 2x + 3y = 19 : x0 = 2, y0 = 5

Solution générale de 10x + 15y + 6z = 113
x = 2 + 3k - 3m
y = 5 - 2k
z = 3 + 5m

les solutions particulières des diverses équations à deux inconnues de la méthode sont obtenues ici par l'algorithme d'Euclide (donc systématique aussi)
ce n'est pas la seule méthode, mais c'est la plus "directement compréhensible" et "imaginable" car elle se ramène à des équations à deux inconnues seulement.

nota : il existe une infinité d'expressions différentes des mêmes solutions de l'équation à 3 inconnues, selon la méthode employée les coefficients de "k" et "m" (ou de "p" et "q") seront différents mais quand ils parcourent Z², ça donnera exactement le même ensemble de solutions (x;y;z) de Z³

une autre méthode (plus complexe et surement pas au programme de Lycée : algorithme d'Euclide sur des matrices) donne d'ailleurs

x = 113 - 3k
y = -113 + 4k - 2m
z = 113 - 5k + 5m

(bein oui, 10-15+6 = 1 donne la solution évidente x = 113, y = -113, z = 113 !!)

dans ces expressions, là on a des solutions qui ne dépendent que d'un seul paramètre

par exemple
x = 2 + 3k - 3m
y = 5 - 2k
z = 3 + 5m

pour avoir des solutions dans N³ on doit donc avoir
5-2k > 0 donc k < 5/2 soit k ≤ 2
3 + 5m >0 donc m > -3/5 soit m ≥ 0
et ces inéquations là simplifient pas mal le problème : le domaine du plan (k; m) est un triangle rectangle avec les côtés de l'angle droit parallèles aux axes

désolé une erreur en effet les réponses  dans Z sont donc plutôt

x = 6p +3q+5
y = -6p -4q -5
z = 5p +5q +23

10(6p +3q+5)+15(-6p -4q -5) +6( 5p +5q +23 )=113