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Niveau terminale
Equation diophantienne non linéaire à deux inconnues
Posté par JAMAA
Bonjour
Quelqu'un peut-il m'aider à résoudre cet exercice car je n'y arrive pas. Merci d'avance.
Il s'agit d'une équation diophantienne non linéaire:
L'énoncé de l'exercice:
Soit l'équation (E) : x²(x²+7)= y(2x+y) ; (x;y) ∈ IN*².
et Soit δ= x∧y et on pose x=δa; y=δb.
1) On suppose que (x;y) est une solution de (E) .
a) Vérifier que: a²(δ²a²+7)= b(2a+b) .
b) En déduire qu'il existe un entier relatif k tel que :
δ²+a²+7=kb et 2a+b=ka²
c) Montrer que a=1.
d) En déduire que (1+b)²=8+δ².
2) Résoudre dans N² l'équation (E).
Je noterai d au lieu de 
.
Dans b), ce n'est pas d2+a2+7=kb, mais d2a2+7=kb.
Sinon, pour d), remplace a par 1 dans d2a2+7=kb. et 2a+b=ka2
Bonsoir,
pour démarrer 1)a)
On remplace x par δa et y par δb et on simplifie par δ²
et on aurait le résultat voulu
après, dans 1)b) , on aura k=[ (δ²a²+7)/b] comment savoir si k ∈Z?
Merci pour votre réponse
Bonjour,
Je pense avoir trouvé
k= (δ²a²+7)/b = b(2a+b)/a²=(2b/a) +(b/a)²
(b/a)=(y/δ)/(x/δ) or y/δ ∈Z et x/δ ∈Z car δ= x∧y
Est ce bien ça?
On évite d'écrire des divisions quand on fait de l'arithmétique.
Quelle propriété relie les entiers a et b ?
Bonjour
a et b sont premiers entre eux, Donc n'ont aucun diviseur autre que 1 et -1 en commun Quelque chose qui ne va pas dans mon raisonnement ?
merci beaucoup
Citation :
a et b sont premiers entre eux
C'est ce qu'il faut utiliser, avec un théorème dont le nom commence par un G.a et b sont premiers entre eux
Bonjour,
Je pense que vous faites allusion au Théorème de Gauss, qui dit que Si a divise b.c et a premier avec b alors a divise c
Mais, J'avoue que je ne vois pas trop comment l'appliquer ici.
Merci pour tous ces conseils très précieux