Bonsoir,

En desespoir de cause, étudie les variations de g avec g(x) = 2x^3+6x²+7x+1,
pour décider si g(x) = 0 admet une solution. Si oui, trace la courbe pour
repérer une éventuelle solution évidente.
Sinon, tu peux toujours l'approcher avec une dichotomie par ex.
C'est possible avec la plupart des calculatrices un  peu évoluées.

C.

Rappel succinct de la théorie permettant de résoudre n'importe
quelle équation du type   x³ + ax² +bx + c = 0.

En posant x = y - (a/3), ces équations peuvent être ramenées à la forme
:
y³ + py + q = 0.

3 cas peuvent alors se présenter :

1) (q/2)² + (p/3)³ > 0.
Il y a alors une racine réelle R.
R = ((-(q/2)+((q/2)² + (p/3)³)^(1/2))^(1/3)) + ((-(q/2) - ((q/2)²
+(p/3)³)^(1/2))^(1/3)).
Il y a aussi 2 racines complexes conjuguées C1 et C2.
C1 = -(R/2) + i.((3R² + 4p)^(1/2))/2.
C2 = -(R/2) - i.((3R² + 4p)^(1/2))/2.

2) (q/2)² + (p/3)³ = 0.
Il y a alors une racine double R1 = R2 = -3q/(2p).
Il y a aussi une 3ème racine : R3 = 3q/p.

3) (q/2)² + (p/3)³ < 0.
Il y a 3 racines réelles que l'on peut trouver par une méthode

trigonométrique.
R1 = [(-4p/3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-q.((-27/(4p³))^(1/2)))].
R2 = [(-4p/3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-q.((-27/(4p³))^(1/2))) + (2.Pi/3)].
R3 = [(-4p/3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-q.((-27/(4p³))^(1/2))) + (4.Pi/3)].
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Une autre façon de faire:

Ce type d'équation a toujours au moins une racine réelle. On cherche
cette racine par exemple par approximations successives.

Le problème, c'est que dans le cas de ton équation, cette racine
est un peu tordue:
On a : x = -0,164877651519...

Ensuite on divise le polynome (par divission euclidienne ou Horner) par (x
- racine trouvée)
Donc ici on divise 2x^3+6x²+7x+1 par (x + 0,164877651519...)

Le reste est nul puisque g(-0,164877651519...) = 0

On a après cette division (que je n'ai pas faite) :
g(x) = (x + 0,164877651519...).(ax² + bx + c)

a, b et c sont connus si on a fait la division.

Les 2 racines restantes se trouve en résolvant l'équation du second
degré (ax² + bx + c) = 0
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Les solutions à ton équation sont:
x = -0,164877651519...
et 2 racines complexes conjuguées:
x = -1,41756117424 +/- 1,0114702184 i
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Sauf distraction.