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équation du degré 4 (complexes)
Bonjour tout le monde,
Je bloque sur cet exo:
Ecrire z^4-1 sous la forme d'un produit de quatre polynômes de degré 1 en z.
Je n'ai réussi qu'à écrire z^4-1= (z-1)(z+1)(z^2+1) qui me donne 1 et -1 donne racines.
Utiliser la question 1 pour résoudre dans 
l'équation
((z-i)/(z+1))^4=1
J'ai pensé utiliser un changement de variable
Z= (z-i)/(z+1)
d'où (z-i)/(z+1)=1 ou -1
(z-i -z-1)/(z+1)=0
(-i -1)/(z+1)=0
Et là j'ai un problème puisque -i-1 n'est pas égal à 0. Pourriez vous m'indiquer mon erreur?
Salut !
Pour la factorisation de , c'est connu, ce sont les racines quatrièmes de l'unité :
.
Si tu arrives à
je ne vois pas où est le problème pour terminer le calcul, tu as du voir ce qu'était un complexe non?
Pour ce qui est du changement de variable, c'est une bonne idée.
Par contre, il te faut absolument faire la factorisation précédente.
Tu obtiens :
ssi
ou
ou
ou
Pour c'est impossible ...
Pour à toi de jouer
.
Bon je ne suis pas du tout sûr de moi... Je vous note ce que j'ai fait.
Pour Z=-1
(...) z^2-i+1=0
x^2+y^2-i+1=0
impossible car la partie imaginaire n'est pas nulle
Pour Z=i
(...) z-2i -iz=0
x=-1
y=1
z=-1+i
Pour Z=-i
(...)z+iz=0
x+iy+ix-y=0
x=y=0
Est ce qu'on peut considérer que z=0 est une solution? Je suppose que oui
Pour , pourquoi reviens tu à la forme cartésienne
ssi
ssi
ssi
, non ?
De toute façon, le calcul cartésien de letonio semble faux.
Il faut plutôt faire :
Z=-1
(z-i)/(z+1)=-1
z-i=-z-1
x+iy-i=-x-iy-1
(2x+1)+i(2y-1)=0
donc x=-1/2 et y=1/2
z=(i-1)/2
Mais autant rester en z, bien sûr !
Bein oui ça paraît évident 
Je commence à en avoir marre de ne pas voir c'est truc là. Par contre du coup il me semble qu'il y a aussi une solution pour Z=1
z-i= z=1
2z=1+i
z=(1+i)/2
C'est faux?
Oui c'est faux !
ssi
ssi
... impossible !
Désolé Nicolas, pas d'actualisation 
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