Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Maths sup
Partager :

Equation du second degré avec paramètre trigonométrique

Posté par
Lilstatch
28-09-23 à 00:44

Bonjour/soir à tous,

J'épluche en ce moment les "vieux" sujets du bac C, et je suis tombé sur cette équation à résoudre dans (sujet de Paris 1980) :

z2 -(1+isin(2))z + 0.5sin(2) = 0  (E)

Je me suis pas mal arraché les cheveux et n'ai pas avancé.
En essayant de calculer le discriminant, aucune simplification n'apparaît avec des formules de trigo. Je me suis également demandé si le discriminant lui-même ne pouvait pas être vu comme un polynôme en sin(2) mais la résolution est inexploitable.
En essayant de chercher une forme astucieuse de solution du type sin(2) avec , je m'y perds également.
Enfin en utilisant la relation coefficients-racines, aucune solution triviale ne vient non plus.

Je cherche donc une piste qui pourrait m'aider à démarrer, s'il faut bel et bien manipuler les formules de trigo dans le discriminant n'hésitez pas à simplement me le confirmer, je calculerai jusqu'à trouver !

Merci d'avance pour votre aide

Hugo

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equation du second degré avec paramètre trigonométrique 28-09-23 à 09:06

Bonjour,
Je soupçonne un i/2 au lieu du 0.5 dans l'équation.
Sinon, il n'y a pas de cas avec solution double.
Or, dans le sujet, on demande de "préciser le cas des racines doubles".

Posté par
carpediem
re : Equation du second degré avec paramètre trigonométrique 28-09-23 à 10:00

salut

avec de tels coefficients et indépendamment de la remarque de Sylvieg sur l'exactitude de ces coefficients il est rare que je calcule un discriminant (car le pb est qu'il faut trouver "une racine carrée" dans C et ce n'est pas toujours aisé ou du moins c'est fastidieux)

je multiplierai cette équation par 4 (pour ne pas m'embêter avec des (trop de) fractions et je passerai par la forme canonique (et je note c le terme constant en attendant d'avoir sa valeur exacte) :

4z^2 - 4 [1 + i \sin (2t)] z + 4c = [2z - (1 + i \sin (2t))]^2 +4c - [1 + i \sin (2t)]^2

et je considèrerai le terme constant 4c - [1 + i sin (2t)]^2 afin de l'écrire sous la forme - b^2

ça revient un peu au même dans une certaine mesure mais Sylvieg parlant du cas de racine double ça me semble plus simple

Posté par
jandri Correcteur
re : Equation du second degré avec paramètre trigonométrique 28-09-23 à 10:01

Bonjour,

je suis d'accord avec Sylvieg, c'est le \dfrac{i}2 qui a été retranscrit \dfrac12 dans le sujet qui figure sur le site de l'APMEP.

Posté par
Lilstatch
re : Equation du second degré avec paramètre trigonométrique 28-09-23 à 11:41

carpediem @ 28-09-2023 à 10:00

salut

avec de tels coefficients et indépendamment de la remarque de Sylvieg sur l'exactitude de ces coefficients il est rare que je calcule un discriminant (car le pb est qu'il faut trouver "une racine carrée" dans C et ce n'est pas toujours aisé ou du moins c'est fastidieux)

je multiplierai cette équation par 4 (pour ne pas m'embêter avec des (trop de) fractions et je passerai par la forme canonique (et je note c le terme constant en attendant d'avoir sa valeur exacte) :

4z^2 - 4 [1 + i \sin (2t)] z + 4c = [2z - (1 + i \sin (2t))]^2 +4c - [1 + i \sin (2t)]^2

et je considèrerai le terme constant 4c - [1 + i sin (2t)]^2 afin de l'écrire sous la forme - b^2

ça revient un peu au même dans une certaine mesure mais Sylvieg parlant du cas de racine double ça me semble plus simple

Quelque part la mise sous forme canonique fait apparaître le discriminant, non ? Et pour le cas de racine double c'est pour cela que j'avais parlé de le voir comme un polynôme en sin(2), mais je vous remercie pour votre idée qui dégage plus rapidement et plus simplement le résultat !

Merci à tous pour votre aide, c'est légèrement plus simple sans la coquille !

Bonne journée

Posté par
Pirho
re : Equation du second degré avec paramètre trigonométrique 28-09-23 à 12:03

Bonjour,

je ne fais que passer!

z^2-(1+i sin(2\theta))z+\dfrac{i}{2}sin(2\theta)}=0

peut aussi s'écrire

\left(z-\dfrac{1+isin(2\theta)}{2}\right)^2-\dfrac{cos^2(2\theta)}{4}=0

la racine double s'obtient facilement pour \dfrac{cos^2(2\theta)}{4}=0

Posté par
carpediem
re : Equation du second degré avec paramètre trigonométrique 28-09-23 à 12:44

Lilstatch @ 28-09-2023 à 11:41

Quelque part la mise sous forme canonique fait apparaître le discriminant, non ?
mais je vous remercie pour votre idée qui dégage plus rapidement et plus simplement le résultat !

c'est ce que je disais ici :
carpediem @ 28-09-2023 à 10:00

ça revient un peu au même dans une certaine mesure mais Sylvieg parlant du cas de racine double ça me semble plus simple

de rien



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1673 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !