Niveau autre

Equation et intégrale

Posté par délice (invité) 04-09-05 à 20:38

voici l'énoncé sur lequel je me penche depuis quelques jours!!
(E): f(x)-(entre -1 et 1) (x+t)f(t)dt=g(x) où gC⁰.
1)=1/2 soit f une solution de (E1/2)
1.1/mq f(x)=g(x)+ax+b
1.2/exprimer les réels a et b en fonction de g.
1.3/déterminer f lorsque g(x)=x.

j'ai trouvé f(x)=f(0)(1-x)+xf(1).Je pense que jusque là c'est Ok.ça se complique pour le cas général!!
2.1/f sol de (E) tq f(x)=g(x)+ax+b. Ecrire un système de 2 équations d'inconnues a et b en fonction de g.
2.2/mq sauf pour 2 valeurs ₁,₂ à préciser, l'équation admet une unique solution pour tte fonction g.
2.3/a quelle condition sur g, l'équation (e₁) admet-elle des solutions?
...
ce sera déjà trés bien si j'ai quelques pistes pour ces questions.
A +. Merci d'avance

Posté par re:Equation et intégrale 04-09-05 à 22:11

Bonsoir délice;
tu vois bien que l'équation $(E_\lambda)$ s'écrit aussi:
$2$\fbox{f(x)=g(x)+ax+b\\a=\lambda\int_{-1}^{1}f(t)dt\\b=\lambda\int_{-1}^{1}tf(t)dt}$
comme on demande d'exprimer $a$ et $b$ en fonction de g,on peut remarquer qu'on a aussi:
$\fbox{\int_{-1}^{1}f(x)dx=\int_{-1}^{1}g(x)dx+\int_{-1}^{1}(ax+b)dx\\\int_{-1}^{1}xf(x)dx=\int_{-1}^{1}xg(x)dx+\int_{-1}^{1}(ax^2+bx)dx}$
*si $\lambda=0$ on a $2$\fbox{f=g\\a=b=0}$
*si $\lambda\neq0$ ceci donne le systéme:
$2$\fbox{\{{\frac{a}{\lambda}-2b=\int_{-1}^{1}g(x)dx\\-\frac{2a}{3}+\frac{b}{\lambda}=\int_{-1}^{1}xg(x)dx}$
qui a pour déterminant: $\fbox{\Delta=\frac{1}{\lambda^2}-\frac{4}{3}}$ et il est donc de cramer (solution unique) pour $2$\fbox{\lambda\neq\lambda_1,\lambda_2\\\lambda_1=-\lambda_2=\frac{sqrt3}{2}}$
pour $\lambda=\lambda_1=\frac{sqrt3}{2}$ le systéme devient:
$2$\fbox{\{{\frac{2a}{sqrt3}-2b=\int_{-1}^{1}g(x)dx\\-\frac{2a}{3}+\frac{2b}{sqrt3}=\int_{-1}^{1}xg(x)dx}$
en divisant la 1ére équation par $sqrt3$ et en ajoutant le résultat à la seconde on obtient:
$2$\blue\fbox{\int_{-1}^{1}(x+\frac{1}{sqrt3})g(x)dx=0}$ qui est donc la condition sur $g$ pour que $(E_{\lambda_1})$ admette des solutions.
Sauf erreur bien entendu

Posté par délice (invité)re : Equation et intégrale 05-09-05 à 07:05

ok merci, je vais regarder ça.

Posté par délice (invité)re : Equation et intégrale 06-09-05 à 12:27

2.4/g est la fonction nulle. Déterminer l'ensemble des solutions de (E).

si g=0 alors f(x)=ax+b avec a=f(t)dt
b=tf(t)dt.

or (E) admet une unique solution pour 1,2.
a/-2b=0 et -2a/3+b/=0.
.....
suis-je dans le bon raisonnement?il suffit de résoudre ceci?

tout autre chose entre 0 et - de sinx/x dx vaut-elle entre 0 et +de sinx/x dx? ça vaut /2 non?

Posté par re : Equation et intégrale 06-09-05 à 14:02

Si $\fbox{g=0\\ \lambda\neq \pm \frac{sqrt3}{2}}$ alors solution unique $\fbox{f=0}$
Si $\fbox{g=0\\ \lambda=\frac{sqrt3}{2}}$ alors infinité de solutions $\fbox{f(x)=a(x+\frac{1}{sqrt3})\\a\in\mathbb{R}}$
Si $\fbox{g=0\\ \lambda=-\frac{sqrt3}{2}}$ alors infinité de solutions $\fbox{f(x)=a(x-\frac{1}{sqrt3})\\a\in\mathbb{R}}$

la fonction $x\to\frac{sin(x)}{x}$ étant paire et intégrable sur $\mathbb{R}^{+}$ on a:
$\fbox{\int_{-\infty}^{0}\frac{sin(x)}{x}dx=\int_{0}^{+\infty}\frac{sin(x)}{x}dx=\frac{\pi}{2}}$
Sauf erreur

Posté par délice (invité)re : Equation et intégrale 06-09-05 à 16:07

ok merci, c'est bien ce que je pensais.
et pour les solutions, j'ai bien trouvé ça.

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

analyse en post-bac
21 fiches de mathématiques sur "analyse" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Equation et intégrale

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths