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Equation Fonctionelle
Bonsoir, je m'interesse actuellement à un exerice portant sur les équations fonctionelles, qui me donne du fil à retordre. Voici mon énoncé:
Le but de l'exercice est de déterminer les fonction f de classe C(1) sur R telle que pour tout x et pour t y appartenant à R², f(xf(y))=yf(x).
1.Supposons qu'une telle fonction f existe:
a. Trouver f(0). Je trouve 0 mais mon raisonemment ne me semble pas sur: car on a:
yf(0)=f(0) <=> y=1 ou f(0) =0.
b.Déterminer f si f(1)=0. f(1)=0 <=> f(x)=0 donc f est la fonction nulle.
c.Montrer que pour tout y appartenant à R, f'(y).f'(f(y))=f(1). En posant x=1 et en dérivant, on arrive au résultat demandé.
d.Dans tout cette question on suppose que la dérivée f' de f ne s'annule pas sur R
i.Montrer que f est strictement monotone sur R.
ii. Trouver f(1)
iii. En déduire que f est strictement croissante
iv.Montrer que pour tout y appartenant à R, f(f(y))=y
v.Montrer que pour tout y apparenant a R, f(y)=y
2. Déterminer toutes les aplications f de classe C1 sur R vérifiant l'équation fonctionelle f(xf(y))=yf(x) pour tout x,y appartenant à R².
Voila si vous pouviez vérifier mes premiers résultats, me guider sur la partie d et la question 2, cela m'aiderait énormément. Merci bonne soirée 
Pour le i du d, f est C1 donc sa dérivée est continue. De plus elle ne s'annule pas sur R donc par le théorème des valeurs intérmédiaires on démontre qu'elle est de signe constant => stricte monotonie de f
Oui c'est ce que je viens de constater aussi, 
, je n'avais pas fait attention à l'hypothese "f ne s'annule pas sur R".
En trouvant f(1) je vais pouvoir grace à la question c. en déduire le signe de f' est montrer que f croissante donc...
Normalement tu devrais avoir f(1)=1
Du coup pour la iv , on revient à la donnée de départ :
f(xf(y))=yf(x).
avec x=1 :
f(f(y))=yf(1)
soit
f(f(y))=y
f est involutive, strictement croissante et vaut 1 en 1. Je ne vois que l'identité pour celà. A démontrer rigoureusement 
Effectivement je vais chercher pour f(1). Mais pour montrer qu'elle est croissante il faut utiliser que le signe de f' dépend du signe de f(1) mais il dépend aussi du signe de f'(f(y)) ??
Merci en tout cas!
Oui c'est bon
Donc finalement f'(y)f'(f(y)) est positif. Donc ça veut dire que soit f'(y) et f'(f(y)) sont tout deux positifs donc que f est strictement croissante, soit que f'(y) et f'(f(y)) sont tout deux négatif. Montre que cette derniére est absurde
Soit f(xf(y)=yf(x)
1a) en faisant x=0 yf(0)=f(0) quel que soit y, donc f(0)=0
b) si f(1)=0 en faisant y=1 f(x)=f(0)=0
c) pour x=1 f(f(y)=yf(1) donc en dérivant f'(f(y)f'(y)=f(1)
d i) la dérivée est continue et ne s'annule pas elle est donc de signe constant et f est strictement monotone
ii) en faisant y=1 f(xf(1))=f(x) : comme f est strictement monotone, ceci entraine que f(1)=1; en effet sinon xf(1)?x et l'égalité est impossible puisqu'une fonction monotone est injective
iii) puisque f(0)=0 et f(1)=1 la fonction monotone est croissante
iv) en reprenant l'égalité obtenue pour x=1, f(f(y))=y
v) si f(y)<y la fonction étant croissante f(f(y))<f(y)<y et si f(y)>y, f(f(y))>f(y)>y, donc f(y)=y
2) On a d'abord la foncton nulle...
Si f n'est pas nulle, f(1)?0 donc f'(y) ne peut s'annuler, sinon f' ne serait pas définie en f(y) (en vertu de la formule du c). Donc c'est l'identité f(x)=x , en vertu du d)
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