La 1) est immédiate.
La seconde montre que f est continue.

comment ca immédiate.. montre moi

Immédiate dans le sens "il suffit de l'écrire".

mais comment montrer

Est ce que tu arrives a prouver que si x est un entier alors f(x)=ax?

je l'ai prouvé pour tout element de N

Et tu vois pas comment en déduire le résultat pour tout élément de Q?
Indication, un multiple suffisament grand de tout element de Q est un entier.

je bloque sur le point de montrer le resultat en Q

Utilise le fait que si q est un rationel alors nq est entier pour un certain entier n.

mais la formule (montrée) est juste seulement dans N

Suppose d'abord que q est positif si tu preferes.
Mais tu peux facilement montrer que la formule est vraie pr tout entier relatif d'abord.

ca y est je l'ai fait, pouvez vous maider pr lautre question?

Tu sais que f est borné sur un petit voisinage disons [-a,a]=I de 0.
Il est clair que pour tout x et y dans [-a, a] tu as |f(x)-f(y)|<C pour une constante C.
Donc |f(x-y)|<C pour (x,y) dans I.
Mais alors |f((x-y)/2)|<C/2 pour tout x,y dans I. Ou dit autrement |f(u)-f(v)|<C/2 pour tout u,v dans [-a/2, a/2].
Uses de cette remarque pour prouver la continuité de f.

la continuité est present dans l'énoncé la question est de montrer que f(x)=ax si f est bornée au v(0)

Quoi? Ecris ton énoncé correctement.
Ca m'etonnerait que tu supposes f continue sinon l'hypothese bornée en 0 ne sert à rien et tout devient trivial.

je m'excuse j'ai oublier de l'écrire dans lenonce

Ben si f est continue l'hypothese de borné localement ne sert à rien (et est automatique) et le résultat est trivial....

on ne peut pas dire que cest trivial.. en tt cas je vois pas

Utilise la densité des rationnels.
Je persiste à penser que ton énoncé ne dit pas ce que tu écris.

j'ai utiliser la densité pour montrer que cest juste pour x dans R .Mais a quoi sert le fait que f soit bornée?

Ben, c'est ce que je t'ai dit, à rien, si f est continue.

salut



pour info et pour expliquer la remarque de Poncargues : la condition 2/ est inutile si f est supposée continue

J'ai pas trouvé quelque chose utile dans wikipedia mais merci bcp

La continuité au voisinage de 0, peut-être exploitée en utilisant une suite de termes rationnels qui converge vers un nombre irrationnelle.

Par exemple :
, construisons une suite qui converge vers ; donc : convergerait vers 0.

Soit la suite construite en utilisant ; ,   , donc :  

Nous avons: , en passant à la limite et en utilisant la continuité, on arrive à