Salut

Un jour, j'ai eu cet exercice en spé :

Montrer qu'il n'existe pas de fonction de telle que

Cette propriété reste vraie si l'on remplace 1987 par n'importe quel entier impair.

C'était tiré d'une olympiade et je l'ai dous les yeux.

Ensuite, on avait remarqué cette propriété : pour tout entier , il existe des solutions à l'équation comme le prouve la fonction

Voilà ça peut donner un début de recherche pour ton problème

Salut,

je pensais plutot à des fonctions réelles au départ mais merci pour ton exo je vais le regarder

De rien

Bonsoir

Je triche un peu, désolé !

Je considère la fonction f tel que pour tout entier relatif n, pour tout x appartenant à [n,n+1[, f(x)=2n+1-x.
f vérifie fof(x)=x
IL y a plein de variantes dans ce genre.

Kaiser

sur R* on a tout simplement f: x--> 1/x   fof(x)=x

dans le cas général pour l'instant je ne vois pas trop !

Merci pour vos exemples,

j'avais pensé à celui de Youpi qu'on peut adapter pour -x aussi en posant f(x)=1/x pour |x|<1 et -1/x pour |x|>1.

Maintenant je vois pas pour le cas avec ax+b,a et b quelconques (on a juste que f doit etre bijective)et ensuite le cas général.

fusionfroide pour ton exo,on a que f doit etre injective et aussi f(n+1987k)=f(n)+1987k mais j'ai pas abouti je regarderai ca si j'ai le temps demain.

Bonjour
Voici une "solution" du cas fof=Id
On cherche des fonctions bijectives telles que f=f^-1

1) Sans hypothèses: C'est de la forme suivante: On prend une partition de R en trois parties X, Y et Z avec une bijection :XY.
En posant f(x)=(x) pour x dans X, f(y)=^-1(y) pour y dans Y et f(z)=z pour z dans Z on a bien une fonction convenable.

2) Avec hypothèses: Pour une fonction bijective de R dans R strictement monotone équivaut à continue. De toute façon le graphe de f doit être symétrique par rapport à la première bissectrice. Pour une fonction strictement croissante, une seule possibilité: f=Id.

Supposons donc f strictement décroissante. D'abord on peut remarquer que si f convient il en est de même pour
g(x)=f(x+a)-a et comme f a un point fixe, on peut s'arranger pour que g(0)=0. J'ajoute donc l'hypothèse f(0)=0.

Alors soit F une bijection strictement décroissante de [0,+[ sur ]-,0] telle que F(0)=0. En posant f(x)=F(x) pour x 0 et f(y)=F^-1(y) pour y<0, on a une bonne fonction. On peut même la rendre aussi dérivable que l'on veut en choisissant bien les dérivées à droite de F en 0.

Ca ne répond pas tout à fait à la question, mais c'est un début. En particulier, si on veut fof=ax+b avec a non nul, un changement de variable devrait marcher!

Merci pour ta réponse je vais regarder ca