bonjour tout le monde et bonne année!
Je suis en 1e année de prépavéto et je bute sur la question suivante malgré une piste donné par mon prof:

Soient a et f une fonction continue sur telle que :
f(1)=a et (x;y)², f(x+y)=f(x)+f(y)    (E)

Question : Prouvez quex, f(x)=ax

Je sais grâce aux questions précédentes que:
net x, f(nx)=nf(x) et également que:
n, f(n)=na
q*, f(1/q)=a/q
r, f(r)=ra

Notre prof nous a dit qu'il fallait utilisé :
la continuité de f est le fait que tout réel peut être approché par une suite de rationnels.
Et que la question signifiait que la seule fonction continue vérifiant l'équation fonctionnelle (E) est la fonction affine xax.
Mais je ne vois pas en quoi cela consiste et comment ça peut résoudre la question.
Merci d'avance la compagnie!