Salut,

f(x+0)+x=(f(x)+x)(f(0)+0)=f(x)+x=(f(x)+x)f(0).

Donc f(0)=1.

Ensuite si je suppose que f s'annule en b je montre que b=-1 ou 1/2(*) puis que

f(-1+1)+0=f(0)=1=(f(-1)-1)(f(1)+1))=-a impossible car a>0.

f(1/2+1/2)+1=0.5² d'ou a=0.5².

On sait rien d'autre sur a j'ai l'impression que je me suis compliqué la vie.

Je montre (*) plus tard vu que je pense que j'ai pas emprunté la bonne voie.

bonjour cauchy et karim
>cauchy quand tu ecris : donc   f(0)=0 à la deuxième ligne il faut vérifier  qu'il existe un x tel que f(x)+x soit non nul  c'est le cas pour x=1
puisque f(1)+1=a>0

j'ai une démonstration mais elle n'est pas terrible   je vais chercher autre chose

Salut veleda,

bien sur j'avais pas précisé.

Ta démo est courte?

je pose u=x/2
donc f(x)+x=f(u+u)+u+u=[f(u)+u]²0
donc f(x)-x  
donc si x<0=>f(x)>0
je suis partie autrement mais ça n'a pas l'air de marcher pour x>0

je vais revenir à ma première methode aprés une tasse de thé

Cauchy > il me semble qu'il doit y avoir plus simple . Mais je ne sais pas puisque je n'arrive pas à trouver !

il y a un problème :
le texte donne a>0 donc  pour0<a<1 f(1)<0 comme f(0)=1 et que la fonction est continue elle s'annule au moins une fois entre 0 et 1
et si a=1 f(1)=0  donc pour montrer qu'elle ne s'annule pas il faut modifier les données  
quel est exactement le texte?
désolée d'intervenir si tard mais je n'arrivais pas à poster

ma première methode finalement ne va pas bien même avec a>1

Moi ma methode fonctionne avec a>1 mais sinon je ne peux conclure.

D'ou ma question à karim dans mon premier message.

je voudrais commencer par montrer que f(x) + x ne s'annule pas. Je fais comment pour ça ?

Lis le message de veleda à 16h50 c'est prouvé.

je crois que c'est juste le cas x<0 qui a été traité ?

en fait c'est qu'on a montré que f(x) +x >=0 mais rien ne nou garanti qu'elle ne s'annule pas !

Tu as demandé que f(x)+x ne s'annule pas ,relis ce qu'a dit veleda il doit il y avoir une condition sur a sinon on peut avoir f(0)=1 et f(1)<0 et alors par le théoreme des valeurs intermédiaires comme f est continue, f s'annulerait.

non je cherche à montrer que f(x) + x ne s'annule pas!
Or f(1) +1 = a >0 donc y a pas lieu de l'annulation de f(x) +x. t'es d'accord ?

Depuis le debut c'etait f maintenant ca a changé

euuhhh oui ... t'arrives à montrer que f(x) + x ne s'annule pas ?

Regarde le message de veleda on a deja f(x)+x>=0.

On pose g(x)=f(x)+x.

Maintenant si f(b)+b=0 alorsn a pour tout e

g(b+e)=f(b+e)+b+e=(f(b)+b)(f(e)+e))=0 soit g est nulle.

Donc en particulier g(1)=0 soit f(1)+1=0 or f(1)+1=a>0 d'ou le resultat.

oki merciiii

La prochaine fois essaie quand meme de donner le bon énoncé

J'ai quand même prouvé un truc inutile

Bonsoir;
J'ai l'impression qu'avec la fonction est continue est satisfait à l'équation fonctionnelle ainsi si s'annulait en un certain point de elle s'annulerait partout et ceci est absurde vu que

ahhh ouiiii bien vuuuu!!

Salut elhor,

c'est ce que j'ai fait au-dessus non?

enfin c'est clair, mais j'ai juste apprécié la présentation propre !Mais c'est sûr que c'est cauchy qu'il a eu l'idée en premier !

Non mais je croyais que tu disais ca parce que t'avais pas compris ce que j'avais fait avant et dans ce cas fallait poser une question

ah non non c'est juste un soucis de présentation rien de plus !
Cauchy ca te dit rien le sens de ultimement dans cette phrase : montrer que a<b ultimement ?

Non pas vraiment.

>>karim,
essaies de nous donner un texte exact et de lire les les remarques que l'on te poste

Bonsoir

Juste pour savoir, karim, c'est un exercice de terminale?

Salut jeanseb,

vu les questions qu'ils posent je pense plutot que c'est un exo de sup.

Qu'il pose il est seul lol

C'est ce qui me semblait, mais son profil indique Terminale. Bon, Nightmare et Fractal aussi, mais je voulais en avoir le coeur net.

La fonction f(x)=a^x-x est bien la seule solution je crois.

Bonsoir Cauchy et toutes mes excuses pour mon post du 08/02/2007 à 21:07 je n'avais pas lu ta réponse.
Pour ton post ci-dessus je crois que si on suppose en plus que est dérivable en on aurait dérivable en et on peut écrire et donc et en faisant tendre vers on voit que est solution de l'équation différentielle équation qu'on sait résoudre et on a et comme on trouve le résultat que tu as annocé
Je ne sais pas encore si ce résultat reste vrai sans l'hypothèse de la dérivabilité de

Il me semble qu'on peut s'y ramener vu que la seule fonction continue verifiant g(x+y)=g(x)g(y) et g(1)=a est a^x.

On le montre pour les entiers puis les rationnels puis on passe à la limite.

g(n)=g(1)^n=a^n.

Si x=p/q,g(p)=g(qp/q)=g(p/q)^q=g(x)^q.

Soit g(p)=g(x)^q donc a^p=g(x)^q soit g(x)=a^(p/q).

Puis par densité.

Oui effectivement Cauchy on s'en sort avec l'hypothèse de la continuité
J'ai lu sur un autre forum qu'on demandait de trouver toutes les applications sans aucune hypothèse supplémentaire.
Avec le changement d'inconnue on se raméne à

Sans hypothèses on doit pouvoir faire des choses tordues non?

C'est comme l'équation f(x+y)=f(x)+f(y) qui a des solutions non continues.

Tu en connais des solutions non continues de ?

J'avais vu ca faut que je retrouve le sujet,en fait c'est pas explicite tu considères R comme un Q-ev tu sais qu'il existe une base B de R en tant que Q-ev puis tu définis f comme tu veux sur B puis:

pour x dans R , on a : avec

et tu définis .

f vérifie l'équation fonctionnelle mais n'est pas linéaire.

Comment est définie sur la base ? car si on choisit par exemple pour tout on se retrouve avec

Tu peux le définir en mettant par exemple f(b_i)=0 pour tous les b_i sauf un.

On peut à partir de la fonction f construite poser:

qui vérifie .

Au passage, cauchy, c'est bien ca le résultat : f(x) = 1-x!
et si je retire l'hypothèse f(x) = a-1, quel seraient l'ensemble des solutions à ce moment là ?

toujours des erreurs dans ce que j'écrit :d
f(x) = a^x -x !désolé