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Equation fonctionnelle

Posté par
cleymentine 19-12-11 à 18:21

Bonjour à tous,

J'aurais besoin de votre aide pour cet exercice:


On note E l'ensemble des fonctions f : → continues telles que ∀ (x, y) ∈ 2, f(xy) = xf(y) + yf(x).

1. Soit f : → une fonction élément de E.
a) Déterminer les valeurs de f(0), f(1), f(−1).
b) Démontrer que la fonction f est impaire.

2. On suppose que la fonction E est dérivable sur ]0, +∞[.
a) Montrer que f est solution, sur l'intervalle ]0, +∞[ de l'équation différentielle
ty′(t) − y(t) = kt,
où k est une constante réelle dépendant de f que l'on précisera.
b) Résoudre sur ]0, +∞[ l'équation différentielle précédente.
c) En déduire, en fonction de la constante k, la valeur de f(t) pour tout t ∈ .

3. On note f1 l'unique fonction appartenant à E telle que f1′ (1) = 1.
a) La fonction f1 est-elle dérivable en 0 ?
b) Donner l'allure du graphe de f1 dans un repère orthonormal direct.

4. On considère une fonction f : → , élément de E , que l'on suppose seulement continue. On note F la primitive de f qui s'annule en 0.
a) Montrer que pour tout (x, y) ∈ 2,
F(xy)=x2F(y)+ (xy2/2)f(x).
b) En déduire que la fonction f est dérivable sur ]0, +∞[.
c) Déterminer l'ensemble E .

Pour la question 1, je n'ai pas de problèmes. Mais je bloque sur la question 2.a)
Je remplace le t par xy:
xyf'(xy)-f(xy)=kxy
xy(xf'(y)+yf'(x))-xf(y)-yf(x)=kxy
...

Merci d'avance pour votre aide.

Clémentine

Posté par
kybjmre : Equation fonctionnelle 19-12-11 à 18:42

Pour démarrer :
En donnant à x et y des valeurs particulières tu dois pouvoir trouver f(0) , f(1) et f(-1) facilement.

Posté par
alainpaulre : Equation fonctionnelle 19-12-11 à 18:46

Bonsoir Clémentine,

Te peux aussi écrire:
f(xy)/(xy) = f(x)/x + f(y)/y  , xy<>0
     ln(xy) = ...



Alain

Posté par
cleymentinere : Equation fonctionnelle 19-12-11 à 18:57

Bonsoir Alain,

Donc en supposant que f est solution de l'équation différentielle, je trouve
k=xf'(y)+yf'(x)-f(y)/y-f(x)/x

Mais ce la ne prouve pas que f est solution...

Posté par
cleymentinere : Equation fonctionnelle 19-12-11 à 21:16

Je ne comprends pas le rapport avec ln(xy)...

Posté par
cailloux Correcteurre : Equation fonctionnelle 20-12-11 à 00:32

Bonsoir,

f(xy)=xf(y)+yf(x)

On dérive par rapport à y

xf'(xy)=xf'(y)+f(x)

Puis pour y=1:

xf'(x)-f(x)=xf'(1)

Posté par
sabagare : Equation fonctionnelle 20-12-11 à 08:19

1.a)
on à:
\[\forall x \in R\]
\[\begin{array}{c} \\ y = 1 \Rightarrow f(x) = xf(1) + f(x)\\ \\ \Rightarrow 0 = xf(1) \\ \end{array}\]
donc \[f(1) = 0\]

et puis on pose:

\[\begin{array}{c} \\ \left\{ \begin{array}{l} \\ y =  - 1\\ \\ x =  - 1 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \\ f(xy) = xf(y) + yf(x)\\ \\ f\left( {\left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right)} \right) =  - f\left( { - 1} \right) - f( - 1) \\ \end{array} \right.\\ \\ \Rightarrow 0 = f(1) =  - 2f( - 1)\\ \\ \Rightarrow f(1) = f( - 1) = 0 \\ \end{array}\]

Posté par
sabagare : Equation fonctionnelle 20-12-11 à 08:24

\[\begin{array}{c} \\ \left\{ \begin{array}{l} \\ y =  - 1\\ \\ x = 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \\ f(xy) = xf(y) + yf(x)\\ \\ f\left( {0 \times \left( { - 1} \right)} \right) = 0f\left( { - 1} \right) - f(0) \\ \end{array} \right.\\ \\ \Rightarrow 2f(0) = 0\\ \\ \Rightarrow f(1) = f( - 1) = f(0) = 0 \\ \end{array}\]

Posté par
sabagare : Equation fonctionnelle 20-12-11 à 08:35

1.b)

\[\forall x \in\mathbb{ R}; - x \in \mathbb{R}\]

quand:\[\begin{array}{c} \\ y =  - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \\ f(xy) = xf(y) + yf(x)\\ \\ f\left( {x \times \left( { - 1} \right)} \right) = xf\left( { - 1} \right) - f(x) \\ \end{array} \right.\\ \\ \Rightarrow f\left( { - x} \right) =  - f(x) \\ \end{array}\]

Posté par
sabagare : Equation fonctionnelle 20-12-11 à 08:36

car \[f\left( { - 1} \right) = 0\]

Posté par
cleymentinere : Equation fonctionnelle 20-12-11 à 09:40

Merci pour votre aide, Cailloux.
J'ai donc le droit de fixer y=1?
Ainsi, c'est la fonction f(x) qui est solution de l'équation différentielle.

Posté par
cleymentinere : Equation fonctionnelle 20-12-11 à 10:28

Pour la question 2.c) je trouve
f(t)=tf'(t)-kt
Est-ce correct? Ou est-ce que je dois trouver une expression sans f'(t)?

Posté par
cailloux Correcteurre : Equation fonctionnelle 20-12-11 à 16:03

Citation :
J'ai donc le droit de fixer y=1?


Pourquoi pas ? La relation est vraie pour tout y\in\mathbb{R} donc pour y=1

Citation :
Ainsi, c'est la fonction f(x) qui est solution de l'équation différentielle.


C'est mal écrit: c' est la fonction f

Et peu importe le nom qu' on donne à la variable: x ou t: même combat.

Citation :
2.c) je trouve
f(t)=tf'(t)-kt
Est-ce correct? Ou est-ce que je dois trouver une expression sans f'(t)?


Là, tu as simplement réécrit l' équation différentielle du 2)a)

Il faut la résoudre pour trouver les fonctions f.

ty'-y=kt

Une équation différentielle du premier ordre linéaire à coefficients constants. Tu dois savoir la résoudre.

En principe, tu dois tomber sur:

f(t)=Ct+kt\,\ln\,t où C est une constante arbitraire.


Posté par
cleymentinere : Equation fonctionnelle 20-12-11 à 16:27

Je suis tout à fait d'accord avec la solution.
Mais comment as-tu trouvé kt ln(t)?
Seulement par intuition? Je ne pense pas que j'aurais trouvé toute seule.
En cours, on trouve les solutions particulières par intuition mais elles sont en général plus faciles à trouver.

Posté par
cailloux Correcteurre : Equation fonctionnelle 20-12-11 à 16:39

Par exemple, on peut trouver une solution particulière part la méthode dite de "variation de la constante" si tu la connais:

y(t)=Ct en considérant C comme une fonction de t

y'(t)=C't+C

et l' équation de départ devient:

C't^2=kt

C'=\dfrac{k}{t}

C(t)=k\,\ln\,t

et la fonction t\mapsto Ct=kt\,\ln\,t est une solution particulière de l' équation de départ sur ]0,+\infty[

Posté par
cleymentinere : Equation fonctionnelle 20-12-11 à 16:40

Oups! Désolée, je crois que j'ai parlé trop vite.
Il suffit d'utiliser la méthode de variation de la constante!

Posté par
cailloux Correcteurre : Equation fonctionnelle 20-12-11 à 16:40

Regarde au dessus

Posté par
cleymentinere : Equation fonctionnelle 20-12-11 à 16:41

Apparemment, on a posté le message en même temps

Posté par
kybjmre : Equation fonctionnelle 20-12-11 à 17:07

Pour t > 0 tu as tf '(t) - f(t) = kt
Mais tu trouves tf '(t) - f(t) quand tu dérives g : t f(t)/t .
Ainsi g  - k.ln est constante sur +* et k = g(1) = 0 donc , pour tout t > 0 , f(t) = k.tln(t) .

Posté par
cleymentinere : Equation fonctionnelle 20-12-11 à 18:00

J'ai encore besoin de votre aide pour la question 4.a)...
Si j'intègre f par rapport à x, je trouve
F(xy)=xF(y)+(y2/2)f(x)
Je ne comprends pas pourquoi il faudrait que je multiplie par x...

Posté par
cleymentinere : Equation fonctionnelle 20-12-11 à 18:01

Je voulais dire si j'intègre par rapport à y

Posté par
kybjmre : Equation fonctionnelle 20-12-11 à 19:46

Au lieu de dire j'intègre f par rapport à x ecris donc des relations où il y a des ab u .

Dans F(xy) = 0xy f(t)dt tu fais le changement de variable t = sx.

Posté par
cleymentinere : Equation fonctionnelle 21-12-11 à 15:29

Je ne comprends pas le changement de variable t=sx...
Sinon j'ai:
F(xy)=0xy f(t) dt
Avec f(t)=ktln(t):
F(xy)=(kx2y2ln(xy))/2 - (kx2y2)/4

Posté par
kybjmre : Equation fonctionnelle 21-12-11 à 17:38

NON . Si tu montres que f est dérivable tu auras f(t) = k.tln(t)pour t > 0 .
On te demande de montrer que pour tout (x,y) on a : F(xy) = x²F(y)+ (xy²/2)f(x).
Si x ou y est nul c'est bien vrai . Si x.y 0 , dans F(xy) = 0xy f(t)dt , pour te servir de la relation que vérifie f , le changement de variable t = sx est tout indiqué et te donne : F(xy) = x.0y f(sx)ds et f(sx) =......


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