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Equation fonctionnelle

Posté par
Manganox
10-12-23 à 15:22

Bonjour pouvez vous m'éclairer  pour cette exercice:
Soit f une fonction continue de [0,1] vers R tel que pour tout x de [0,1]: f(x/2)+f(x/2+1/2)=3f(x) montrer que f=0

Posté par
Rintaro
re : Equation fonctionnelle 10-12-23 à 16:14

Bonjour Manganox,

une fonction continue sur [0,1] atteint son minimum m en x_{m} et son maximum M en x_{M}. Avec l'équation fonctionnelle de l'énoncé, que peut-on en déduire sur m et M ?

Posté par
Manganox
re : Equation fonctionnelle 10-12-23 à 16:21

   Je sens que ca a un rapport avec leurs signes mais je tavoue que malgré ton indication jai pas l'idée 😅

Posté par
Manganox
re : Equation fonctionnelle 10-12-23 à 17:11

Cest bon jai trouvé merci bcp
On a m=f(xm/2)-m+f(xm/2+1/2)-m
Donc comme m est le minimum de f et dapres la ligne précédente on deduit que m est positif et de la meme maniere on montre que M est negatif donc pour tout x de lintervalle de depart f(x) est entre 0 et 0 donc f=0 !!
Merci pour laide

Posté par
Rintaro
re : Equation fonctionnelle 10-12-23 à 17:41

Désolé de ne pas avoir répondu plus tôt. Oui tout à fait ! M = m = 0, donc f(x) = 0 pour tout x dans [0,1]

Je t'en prie, à bientôt

Posté par
Ulmiere
re : Equation fonctionnelle 10-12-23 à 18:08

Voici une autre méthode de résolution. Tu peux considérer g = f - m qui est à valeurs positives ou nulles et dire que

0 <= g(x/2) + g(x/2 + 1/2) = 3f(x) - 2m = 3g(x) + m

Ainsi, g(x) >= -m/3 = m' pour tout x et donc aussi f(x) >= 2m/3.
En utilisant la continuité de f et la caractérisation séquentielle de la borne inf, on en déduit que m >= 0, et donc f est positive ou nulle.


Similairement, si on pose h = f - M, elle est à valeurs négatives ou nulles et

0 >= h(x/2) + h(x/2 + 1/2) = 3f(x) - 2M = 3h(x) + M

Donc pour tout x, h(x) <= -M/3 puis f(x) <= 2M/3.
Continuité + caractérisation séquentielle de la borne sup donnent M <= 0, ce qui veut dire que f est négative ou nulle.



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