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equation fonctionnelle de Cauchy
Bonjour,
je fais un exo très classique sur l'équation fonctionelle de Cauchy :
Soient E et F, 2 R-ev normés et x,y dans E. Soit f une fonction de E dans F continue en 0 vérifiant f(x+y) = f(x) + f(y). On veut montrer que f est linéaire.
Pour cela, on montre facilement que f est Q-linéaire et d'habitude on conclut en utilisant la continuité de f sur E (enfin plus précisément la caractérisation séquentielle de la continuité) et la densité de Q dans R. Ici, la continuité en 0 doit impliquer la continuité sur E mais je n'arrive pas à le montrer.
J'ai essayé de dire que f était continue en 0 et Q-linéaire donc f est continue sur Q en tant que Q-ev normé et utiliser ensuite la densité mais cela ne fonctionne pas...
Merci de votre aide
Bonjour
Tu compliques. Une application linéaire continue en 0 est continue.
Tu as f(a+h)-f(a)=f(h)=f(0+h)-f(0), d'où la continuité en a à partir de celle en 0.
Oui mais vous utiliser la linéarité sur E pour montrer la continuité sur E or on sait uniquement au moment où je bloque dans mon raisonnement que f est linéaire sur Q..
Bonsoir, en l'absence de Camélia :
- tu confonds le corps sur lequel tes espaces vectoriels sont définis et les espaces vectoriels en question ; tu as montré que f était Q-linéaire sur E !
- ici on a pas vraiment besoin de la linéarité, si tu regardes bien le message de Camélia, on utilise simplement l'équation fonctionnelle pour écrire tout ça (modulo la petite preuve f(0) = 0), pas besoin de faire des distinctions sur la linéarité par rapport à quel corps etc...
Bon courage
Oui simple manque de rigueur
Ok oui en effet pas besoin de la linéarité je ne sais pas pourquoi je m'embêtais avec ça..
Merci
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